Indian National Mathematical Olympiad 1989

Prove polynomial f(x)=x^4+26x^3+52x^2+78x+1989 irreducible over Z[x]

Prove that the polynomial $f(x)=x^4+26x^3+52x^2+78x+1989$ is irreducible over $\mathbb{Z}[x]$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove polinomio f(x)=x^4+26x^3+52x^2+78x+1989 irriducibile su Z[x]

Prove che il polinomio $f(x)=x^4+26x^3+52x^2+78x+1989$ è irriducibile su $\mathbb{Z}[x]$.

src_inmo_1989__Q01

Roots of x^3+ax^2+bx+c cannot all be rational given a,b,c real not all zero

Let $a,b,c$ be real numbers, not all zero. Prove that the roots of the polynomial $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ cannot all be rational.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le radici di x^3+ax^2+bx+c non possono essere tutte razionali dato a,b,c reale non tutte zero

Lasciate che $a,b,c$ siano numeri reali, non tutti zero. Prova che le radici del polinomio $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ non possono essere tutte razionali.

src_inmo_1989__Q02

Subset of {1,11,21,…,551} with no pair summing to 552 has at most 38 elements

Let $A$ be a subset of the set $\{1,11,21,31,\dots ,551\}$ whose no two elements add up to $552$. Show that $A$ has not more than $38$ elements.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Un sottoinsieme di {1,11,21,…,551} senza coppie sommate a 552 ha almeno 38 elementi

$A$ sia un sottogruppo del set $\{1,11,21,31,\dots ,551\}$ il cui numero di elementi non si somma a $552$. Indicare che $A$ non ha più di $38$ elementi.

src_inmo_1989__Q03

Find all n not a square such that floor(sqrt(n))^2 divides n^2

Find all natural numbers $n$ such that (i) $n$ is not a square, and (ii) $\lfloor \sqrt{n}{\rfloor }^2$ divides $n^2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trovare tutti n non è un quadrato tale che il piano(sqrt(n))^2 divide n^2

Trova tutti i numeri naturali $n$ in modo tale che (i) $n$ non sia un quadrato e (ii) $\lfloor \sqrt{n}{\rfloor }^2$ divida $n^2$.

src_inmo_1989__Q04

Show a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) lies strictly between 1/2 and 2

Let $a,b,c$ be the sides of a triangle. Show that the quantity $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ must lie between $\frac{1}{2}$ and $2$. Can the equality hold at either limit?

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra che a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) si trova rigorosamente tra 1/2 e 2

Lasciate che $a,b,c$ siano i lati di un triangolo. Indicare che la quantità $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ deve essere tra $\frac{1}{2}$ e $2$. L’uguaglianza può essere mantenuta a entrambi i limiti?

src_inmo_1989__Q05

Scalene obtuse triangle: find points on extended BC with AD=sqrt(BD·CD)

In a scalene triangle $ABC$ the angle $A$ is obtuse. Determine the set of points on the extended side $BC$ such that $AD=\sqrt{BD\cdot CD}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo obtouso di scalene: trovare punti su BC esteso con AD=sqrt(BD·CD) *

In un triangolo scalene $ABC$ l’angolo $A$ è obtuso. Determinare l’insieme di punti sul lato esteso $BC$ in modo tale che $AD=\sqrt{BD\cdot CD}$.

src_inmo_1989__Q06

Acute triangle: locus of P so that pedal triangle DEF is isosceles or equilateral

A triangle $ABC$ is acute-angled. For any point $P$ within the triangle, $D$, $E$, and $F$ denote the projections of $P$ onto $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Find the locus of $P$ for which triangle $DEF$ is isosceles. When is $△DEF$ equilateral?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto: locus di P in modo che il triangolo a pedale DEF sia isoscello o equilaterale

Un triangolo $ABC$ è angolato acuto. Per qualsiasi punto $P$ nel triangolo, $D$, $E$ e $F$ indicano rispettivamente le proiezioni di $P$ su $BC$, $CA$ e $AB$. Trovare il locus di $P$ per il quale il triangolo $DEF$ è uguale a quello di un anello. Quando $△DEF$ è equilaterale?

src_inmo_1989__Q07