Indian National Mathematical Olympiad 1990

Quartic with four positive roots implies inequalities on coefficients

If the equation $x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s=0$ has four positive real roots, prove that

(a) $pr-16s\ge 0$

(b) $q^2-36s\ge 0$

with equality in each case if and only if the four roots are equal.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quartico con quattro radici positive implica disuguaglianze dei coefficienti

Se l’equazione $x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx+s=0$ ha quattro radici reali positive, dimostri che

(a) $pr-16s\ge 0$

(b) $q^2-36s\ge 0$

con uguaglianza in ogni caso se e solo se le quattro radici sono uguali.

src_inmo_1990__Q01

Find all nonneg integer pairs satisfying $(xy-7{)}^2=x^2+y^2$

Find all pairs of nonnegative integers $(x,y)$ satisfying $(xy-7{)}^2=x^2+y^2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi non negativi che soddisfano $(xy-7{)}^2=x^2+y^2$

Trova tutte le coppie di integri non negativi $(x,y)$ soddisfacenti $(xy-7{)}^2=x^2+y^2$.

src_inmo_1990__Q02

Find all values of f(1990) for function with given functional properties

Let $f:{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ be a function that satisfies:

(i) $x-f(x)=19\lfloor \frac{x}{19}\rfloor -90\lfloor \frac{x}{90}\rfloor$ for all nonnegative integers $x$;

(ii) $1900<f(1990)<2000$.

Find all possible values that $f(1990)$ can take.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i valori di f(1990) per una funzione con determinate proprietà funzionali

$f:{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ sia una funzione che soddisfi:

(i) $x-f(x)=19\lfloor \frac{x}{19}\rfloor -90\lfloor \frac{x}{90}\rfloor$ per tutti gli integri non negativi $x$;

(ii) $1900<f(1990)<2000$.

Trova tutti i valori possibili che $f(1990)$ può assumere.

src_inmo_1990__Q03

Count three-element subsets of {1,…,300} with sum divisible by 3

Determine the number of three-element subsets of $\{1,2,3,\dots ,300\}$ for which the sum of the elements is a multiple of 3.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i sottogruppi di tre elementi di {1,…,300} con somma divisibile per 3

Determinare il numero di sottoinsiemi di tre elementi di $\{1,2,3,\dots ,300\}$ per i quali la somma degli elementi è un multiple di 3.

src_inmo_1990__Q04

Show triangle side quantity lies strictly between 1/2 and 2

Let $a,b,c$ be the sides of a triangle. Show that the quantity $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ must lie between $\frac{1}{2}$ and $2$. Can equality hold at either limit?

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Mostra che la quantità laterale del triangolo si trova strettamente tra 1/2 e 2

Lasciate che $a,b,c$ siano i lati di un triangolo. Indicare che la quantità $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ deve essere tra $\frac{1}{2}$ e $2$. L’uguaglianza può mantenere entrambi i limiti?

src_inmo_1990__Q05

In scalene triangle with obtuse A, find locus of D on line BC with AD=sqrt(BD·CD)

In a scalene triangle $ABC$ the angle at $A$ is obtuse. Determine the set of points $D$ lying on the extended line $BC$ for which $AD=\sqrt{BD\cdot CD}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Nel triangolo scaleno con A obtuso, trovare locus di D sulla linea BC con AD=sqrt(BD·CD) *

In un triangolo scaleno $ABC$ l’angolo a $A$ è obtuso. Determinare l’insieme dei punti $D$ situati sulla linea estesa $BC$ per i quali $AD=\sqrt{BD\cdot CD}$.

src_inmo_1990__Q06

Locus of P such that triangle DEF (feet of perps) is isosceles; when equilateral?

For any point $P$ lying within a given acute-angled triangle $ABC$, let $D,E,F$ denote the feet of the perpendiculars from $P$ onto $AB$, $BC$, $CA$ respectively. Find the set of all positions of $P$ for which the triangle $DEF$ is isosceles. For which position of $P$ is the triangle $DEF$ equilateral?

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Locus di P tale che il triangolo DEF (piedi dei criminali) sia isosceles; quando equilaterale?

Per qualsiasi punto $P$ situato all’interno di un determinato triangolo acuto $ABC$, $D,E,F$ indichi i piedi delle perpendicolari da $P$ a $AB$, $BC$ e $CA$ rispettivamente. Trova l’insieme di tutte le posizioni di $P$ per le quali il triangolo $DEF$ è uguale. Per quale posizione di $P$ è equilaterale il triangolo $DEF$?

src_inmo_1990__Q07