Indian National Mathematical Olympiad 1991

Count positive integers n with n<=1991 and n^2+3n+2 divisible by 6

Find the number of positive integers $n$ such that

(i) $n\le 1991$,

(ii) $n^2+3n+2$ is a multiple of 6.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi n con n <=1991 e n^2+3n+2 divisibili per 6

Trova il numero di interi positivi $n$ in modo tale che

(i) $n\le 1991$,

(ii) $n^2+3n+2$ è un multiple di 6.

src_inmo_1991__Q01

Acute triangle with semicircles on each side: prove area sum identity

In an acute-angled triangle $ABC$, a semicircle is constructed outwards on each side. Points $B^{\prime }$ and $C^{\prime }$ are defined analogously. Prove that $S_{BC{A}^{\prime }}+S_{CA{B}^{\prime }}+S_{AB{C}^{\prime }}=S_{ABC},$ where $S_{XYZ}$ denotes the area of triangle $XYZ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con semicircoli su ciascun lato: prova l’identità della somma di superficie

In un triangolo a angolo acuto $ABC$, un semicircolo è costruito verso l’esterno su ciascun lato. I punti $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$ sono definiti in modo analogo. Prove che $S_{BC{A}^{\prime }}+S_{CA{B}^{\prime }}+S_{AB{C}^{\prime }}=S_{ABC},$ dove $S_{XYZ}$ indica l’area del triangolo $XYZ$.

src_inmo_1991__Q02

Triangle ABC: prove x+y+z+xyz=0 for given tangent expressions

Given a triangle $ABC$, denote $x=\tan \frac{B-C}{2}\tan \frac{A}{2},y=\tan \frac{C-A}{2}\tan \frac{B}{2},z=\tan \frac{A-B}{2}\tan \frac{C}{2}.$ Prove that $x+y+z+xyz=0$.

Topic: Trigonometria, Geometria piana Metodo: Trigonometria, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC: prova x+y+z+xyz=0 per le espressioni tangenti indicate

Date un triangolo $ABC$, indicare $x=\tan \frac{B-C}{2}\tan \frac{A}{2},y=\tan \frac{C-A}{2}\tan \frac{B}{2},z=\tan \frac{A-B}{2}\tan \frac{C}{2}.$ Prove che $x+y+z+xyz=0$.

src_inmo_1991__Q03

Real numbers a,b,c in (0,1) with a+b+c=2: prove sum of fractions >=8

Let $a,b,c$ be real numbers in the interval $(0,1)$ with $a+b+c=2$. Prove that $\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\ge 8.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numeri reali a,b,c in (0,1) con a+b+c=2: dimostrare la somma delle frazioni >=8

$a,b,c$ siano numeri reali nell’intervallo $(0,1)$ con $a+b+c=2$. Provare che $\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\ge 8.$

src_inmo_1991__Q04

Triangle with incenter I, points X,Y on AB,AC: collinearity and angle

In a triangle $ABC$ with incenter $I$, points $X$, $Y$ are taken on the segments $AB$, $AC$ respectively such that $BX\cdot AB=I{B}^2$ and $CY\cdot AC=I{C}^2$. Given that the points $X$, $I$, $Y$ are collinear, find the possible values of $\angle A$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con incentro I, punti X,Y su AB,AC: collinearietà e angolo

In un triangolo $ABC$ con incentro $I$, i punti $X$, $Y$ sono presi sui segmenti $AB$, $AC$ rispettivamente in modo tale che $BX\cdot AB=I{B}^2$ e $CY\cdot AC=I{C}^2$. Dato che i punti $X$, $I$, $Y$ sono collineari, trovare i possibili valori di $\angle A$.

src_inmo_1991__Q05

Find positive integers p for which 3^(p-1) divides 2^p+1; 3^(n+2) does not divide 2^n+1+1

(a) Find all positive integers $p$ for which $3^{p-1}$ divides $2^p+1$.

(b) Prove that $3^{n+2}$ does not divide $2^{n+1}+1$ for any positive integer $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri interi positivi p per i quali 3^(p-1) divide 2^p+1; 3^(n+2) non divide 2^n+1+1

(a) Trova tutti gli integri positivi $p$ per i quali $3^{p-1}$ divide $2^p+1$.

b) dimostrare che $3^{n+2}$ non divide $2^{n+1}+1$ per un intero positivo $n$.

src_inmo_1991__Q06

Find all real solutions to a symmetric system of three equations

Determine all real solutions $x,y,z$ of the system $\{\begin{array}{l}x+y-z=4,\\ x^2-y^2+z^2=-4,\\ xyz=6.\end{array}$

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le soluzioni reali a un sistema simmetrico di tre equazioni

Determinare tutte le soluzioni reali $x,y,z$ del sistema $\{\begin{array}{l}x+y-z=4,\\ x^2-y^2+z^2=-4,\\ xyz=6.\end{array}$

src_inmo_1991__Q07

10 integer-weight objects totalling 20: partition into equal-weight groups if no weight exceeds 10

We are given 10 objects of integer weights with the total weight 20. Prove that if none of the weights exceeds 10, then the objects can be divided into two groups of equal weights.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

10 oggetti di peso intero per un totale di 20: divisione in gruppi di peso uguale se nessun peso supera 10

Ci sono stati dati 10 oggetti di pesi interi con il peso totale di 20. Prova che se nessuno dei pesi supera il 10, allora gli oggetti possono essere divisi in due gruppi di pesi uguali.

src_inmo_1991__Q08

Incircle tangent construction: triangle AB’C’ similar to ABC

The incircle $l$ of a triangle $ABC$ is centered at $I$ and touches the side $BC$ at $T$. The line through $T$ parallel to $IA$ meets the incircle again at $S$ and the tangent to the incircle at $S$ meets $AB$, $AC$ at points $C^{\prime }$, $B^{\prime }$, respectively. Prove that the triangle $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ is similar to the triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Construzione tangente in cerchio: triangolo AB’C’ simile a ABC

L’incircolo $l$ di un triangolo $ABC$ è centrato a $I$ e tocca il lato $BC$ a $T$. La linea attraverso $T$ parallela a $IA$ incontra di nuovo l’incircolo a $S$ e la tangente all’incircolo a $S$ incontra rispettivamente $AB$, $AC$ nei punti $C^{\prime }$ e $B^{\prime }$. Prove che il triangolo $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ sia simile al triangolo $ABC$.

src_inmo_1991__Q09

Find all n for which number of ordered pairs (x,y) with 1/x+1/y=1/n equals 5

For any positive integer $n$, let $s(n)$ denote the number of ordered pairs $(x,y)$ of positive integers for which $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}.$ Determine all those $n$ for which $s(n)=5$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le n per le quali il numero di coppie ordinate (x,y) con 1/x+1/y=1/n è pari a 5

Per qualsiasi integro positivo $n$, $s(n)$ indichi il numero di coppie ordinate $(x,y)$ di integri positivi per i quali $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}.$ determina tutte quelle $n$ per le quali $s(n)=5$.

src_inmo_1991__Q10