Indian National Mathematical Olympiad 1992

Triangle with angle bisector condition implies a^2 = b(b+c)

In a triangle $ABC$, $\angle A=2\angle B$. Prove that $a^2=b(b+c)$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Un triangolo con condizione di angolo bisector implica a^2 = b(b+c) *

In un triangolo $ABC$, $\angle A=2\angle B$. Prove che $a^2=b(b+c)$.

src_inmo_1992__Q01

Real numbers x,y,z with sum and sum of squares conditions; show x_i in [1/2,2]

If real numbers $x,y,z$ satisfy $x+y+z=4$ and $x^2+y^2+z^2=6$, show that each of $x,y,z$ lies in the segment $\left[\frac{1}{2},2\right]$. Can $x$ attain either of the endpoints of the segment?

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numeri reali x,y,z con la somma e la somma delle condizioni di quadrati; mostrare x_i in [1/2,2]

Se i numeri reali $x,y,z$ soddisfano $x+y+z=4$ e $x^2+y^2+z^2=6$, indicare che ciascuno di $x,y,z$ si trova nel segmento $\left[\frac{1}{2},2\right]$. Può $x$ raggiungere uno dei punti finali del segmento?

src_inmo_1992__Q02

Remainder of 19^92 upon division by 92

Determine the remainder of $19^{92}$ upon division by $92$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Restante di 19^92 dopo divisione per 92

Determinare il residuo di $19^{92}$ diviso per $92$.

src_inmo_1992__Q03

Permutations of 1,…,k not extendable; find number of such permutations

Find the number of permutations $(p_1,p_2,\dots ,p_6)$ of $1,2,\dots ,6$ such that for any $k$, $1\le k\le 5$, $(p_1,p_2,\dots ,p_k)$ does not form a permutation of $1,2,\dots ,k$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Permutazioni di 1,…,k non estensibili; trovare numero di tali permutazioni

Trova il numero di permutazioni $(p_1,p_2,\dots ,p_6)$ di $1,2,\dots ,6$ in modo tale che per qualsiasi $k$, $1\le k\le 5$, $(p_1,p_2,\dots ,p_k)$ non costituisca una permutazione di $1,2,\dots ,k$.

src_inmo_1992__Q04

Two circles; line through P meets them; midpoint of AB, midpoint of XZ coincide

Two circles $C_1$ and $C_2$ in the plane intersect at two points $P$ and $Q$. A line through $P$ meets $C_1$ at $A$ and $C_2$ at $B$. Let $Y$ be the midpoint of $AB$ and let $QY$ meet the circles $C_1$ and $C_2$ again at $X$ and $Z$ respectively. Show that $Y$ is the midpoint of $XZ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi; una linea attraverso P li incontra; punto medio di AB, punto medio di XZ coincidono

Due cerchi $C_1$ e $C_2$ nel piano si intersecano a due punti $P$ e $Q$. Una linea attraverso $P$ incontra $C_1$ a $A$ e $C_2$ a $B$. Il $Y$ deve essere il punto medio di $AB$ e $QY$ deve incontrare di nuovo i cerchi $C_1$ e $C_2$ rispettivamente a $X$ e $Z$. Indicare che $Y$ è il punto medio di $XZ$.

src_inmo_1992__Q05

Polynomial with integer coefficients taking value 2 at distinct integers; no integer b with f(b)=9

Let $f(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that there exist distinct integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ at which $f$ takes the value $2$. Show that there does not exist an integer $b$ with $f(b)=9$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Polinomio con coefficienti interi che assumono il valore 2 a numeri interi distinti; nessun numero intero b con f(b)=9

$f(x)$ sia un polinomio con coefficienti interi in modo che esistano diversi interi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ in cui $f$ prende il valore $2$. Indicare che non esiste un numero intero $b$ con $f(b)=9$.

src_inmo_1992__Q06

n x n chessboard: count ways to place n^2 numbers in arithmetic progression in each row and column

For each integer $n\ge 3$, find the number of ways in which one can place the numbers $1,2,\dots ,n^2$ in the squares of an $n\times n$ chessboard (one in each square) such that the numbers in each row and in each column form an arithmetic progression.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

n x n scacchi: contare i modi per posizionare i numeri n^2 in progressione aritmetica in ogni riga e colonna

Per ogni numero intero $n\ge 3$, trovare il numero di modi in cui si possono posizionare i numeri $1,2,\dots ,n^2$ nei quadrati di una scacchiera $n\times n$ (uno in ogni quadrato) in modo che i numeri in ogni riga e in ogni colonna formino una progressione aritmetica.

src_inmo_1992__Q07

Find all pairs (m,n) of positive integers for which 2^m + 3^n is a perfect square

Find all pairs $(m,n)$ of positive integers for which $2^m+3^n$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie (m,n) di numeri interi positivi per le quali 2^m + 3^n è un quadrato perfetto

Trova tutte le coppie $(m,n)$ di interi positivi per le quali $2^m+3^n$ è un quadrato perfetto.

src_inmo_1992__Q08

Regular n-gon A_1A_2…A_n; identity for reciprocals of products of sides

Find $n$ such that in a regular $n$-gon $A_1{A}_2\dots A_n$ we have $\frac{1}{A_1{A}_2}=\frac{1}{A_1{A}_3}+\frac{1}{A_1{A}_4}.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

N-gon regolare A_1A_2…A_n; identificazione per le reciprocità dei prodotti dei lati

Trova $n$ in modo che in un normale $n$-gon $A_1{A}_2\dots A_n$ abbiamo $\frac{1}{A_1{A}_2}=\frac{1}{A_1{A}_3}+\frac{1}{A_1{A}_4}.$

src_inmo_1992__Q09

Find all functions f: R{0,1} → R satisfying a functional equation

Determine all functions $f:\mathbb{R}\setminus \{0,1\}\to \mathbb{R}$ such that for all $x$, $f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{2(1-2x)}{x(1-x)}.$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni f: R{0,1} → R che soddisfa un’equazione funzionale

Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\setminus \{0,1\}\to \mathbb{R}$ in modo che per tutte $x$, $f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{2(1-2x)}{x(1-x)}.$

src_inmo_1992__Q10