Indian National Mathematical Olympiad 1993

Diagonals of cyclic quadrilateral; circumcentre and orthocentre collinear

The diagonals $AC$ and $BD$ of a cyclic quadrilateral $ABCD$ intersect at point $P$. Let $O$ be the circumcentre of triangle $APB$ and $H$ be the orthocentre of triangle $CPD$. Show that the points $H$, $P$, and $O$ lie on a line.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Diagonali di quadrilaterali ciclici; circoncentro e collineare ortocentro

Le diagonali $AC$ e $BD$ di un quadrilaterale ciclico $ABCD$ si intersecano al punto $P$. Che $O$ sia il circoncentro del triangolo $APB$ e $H$ sia l’ortocentro del triangolo $CPD$. Indicare che i punti $H$, $P$ e $O$ si trovano su una linea.

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Quadratic polynomial with integer values at consecutive integers

Consider a quadratic polynomial $P(x)=x^2+ax+b$ with $a,b\in \mathbb{Z}$. Show that for any integer $n$ there is an integer $m$ such that $P(n)P(n+1)=P(m)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Polinomio quadratico con valori interi a numeri interi consecutivi

Considera un polinomio quadratico $P(x)=x^2+ax+b$ con $a,b\in \mathbb{Z}$. Indicare che per qualsiasi intero $n$ esiste un intero $m$ tale che $P(n)P(n+1)=P(m)$.

src_inmo_1993__Q02

Inequality for four positive reals summing to 1

If $a,b,c,d$ are positive numbers with $a+b+c+d=1$, prove that $ab+bc+cd\le \frac{1}{4}.$ Does the analogous inequality hold for $n$ variables?

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza per quattro valori reali positivi sommati a 1

Se $a,b,c,d$ sono numeri positivi con $a+b+c+d=1$, dimostrare che $ab+bc+cd\le \frac{1}{4}.$ La disuguaglianza analogo vale per le variabili $n$?

src_inmo_1993__Q03

Locus of points with equal circumradii for sub-triangles

Find the set of all points $P$ in the set of a triangle $ABC$ such that $P\ne A,B,C$ and the triangles $ABP$, $BCP$, and $CAP$ have the same circumradius.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Localisso dei punti con circondazioni uguali per i sotto-triangoli

Trovare l’insieme di tutti i punti $P$ nell’insieme di un triangolo $ABC$ in modo tale che $P\ne A,B,C$ e i triangoli $ABP$, $BCP$ e $CAP$ abbiano lo stesso circondario.

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Natural number n such that n! ends in exactly 1993 zeros

Show that there exists a natural number $n$ such that $n!$ in decimal system ends in exactly $1993$ zeros.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numero naturale n tale che n! termina esattamente in zero 1993*

Indicare che esiste un numero naturale $n$ tale che $n!$ nel sistema decimale finisce esattamente in zero $1993$.

src_inmo_1993__Q05

Two circles tangent to sides of right triangle; product of radii equals area

Let $\mathcal{S}$ be a semicircle of a right triangle $ABC$ with $\angle A=90^{\circ }$. Circle ${\mathcal{S}}_1$ is tangent to the lines $AB$ and $AC$ and internally to $\mathcal{S}$. Circle ${\mathcal{S}}_2$ is tangent to $AB$ and $AC$ and externally to $\mathcal{S}$. If $r_1,r_2$ are the radii of $S_1$ and $S_2$, prove that $r_1\cdot r_2$ equals four times the area of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti ai lati di un triangolo rettangolo; prodotto dei raggi uguale all’area

Il $\mathcal{S}$ deve essere un semicircolo di un triangolo rettangolo $ABC$ con $\angle A=90^{\circ }$. Circolo ${\mathcal{S}}_1$ è tangente alle linee $AB$ e $AC$ e internamente a $\mathcal{S}$. Circolo ${\mathcal{S}}_2$ è tangente a $AB$ e $AC$ e esternamente a $\mathcal{S}$. Se $r_1,r_2$ sono i raggi di $S_1$ e $S_2$, dimostrare che $r_1\cdot r_2$ è uguale a quattro volte l’area di $△ABC$.

src_inmo_1993__Q06

53-element subset of {1,…,100} contains two elements with sum divisible by 9

Let $A$ be a 53-element subset of $A=\{1,2,3,\dots ,100\}$. Prove that there are two distinct elements $x,y\in A$ whose sum is divisible by $9$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

53-sottoinsieme di elementi di {1,…,100} contiene due elementi la cui somma è divisibile per 9

$A$ sia un sottogruppo di 53 elementi di $A=\{1,2,3,\dots ,100\}$. Prova che esistono due elementi distinti $x,y\in A$ la cui somma è divisibile da $9$.

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Bijection from {1,…,n} to itself iterated M times equals identity

Let $f$ be a bijective function from $A=\{1,2,\dots ,n\}$ to itself. Prove that there is a positive integer $M$ such that $f^M(i)=i$ for each $i\in A$, where $f^M=f\circ f\circ \cdots \circ f$ ($M$ times).

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Bijezione da {1,…,n} a se stessa iterata M volte è uguale all’identità

Lasciate che $f$ sia una funzione bijectiva da $A=\{1,2,\dots ,n\}$ a se stessa. Prove che esiste un intero positivo $M$ tale che $f^M(i)=i$ per ogni $i\in A$, dove $f^M=f\circ f\circ \cdots \circ f$ ($M$ volte).

src_inmo_1993__Q08

Convex hexagon with equal angles and side lengths 1,2,3,4,5,6 in some order

Prove that there exists a convex hexagon in the plane whose all interior angles are equal and whose side lengths are $1,2,3,4,5,6$ in some order.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Esagono converso con angoli e lunghezze laterali uguali 1,2,3,4,5,6 in qualche ordine

Dimostrare che nel piano esiste un esagono converso i cui angoli interni sono tutti uguali e le cui lunghezze laterali sono $1,2,3,4,5,6$ in un certo ordine.

src_inmo_1993__Q09