Indian National Mathematical Olympiad 1994

Triangle with obtuse angle at C; medians, centroid, circle, parallelogram

In a triangle $ABC$ with an obtuse angle at $C$, $AD$ and $CF$ are the medians and $G$ the centroid.

(a) If points $B,D,G,F$ lie on a circle, show that $\frac{BG}{GD}\ge \sqrt{2}$.

(b) Moreover, if $P$ is the fourth vertex of the parallelogram $AGCP$, prove that triangle $GAP$ is similar to $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con angolo obtuso a C; media, centroide, cerchio, parallelo

In un triangolo $ABC$ con angolo obtuso a $C$, $AD$ e $CF$ sono le medie e $G$ il centroide.

a) Se i punti $B,D,G,F$ si trovano su un cerchio, indicare che $\frac{BG}{GD}\ge \sqrt{2}$.

b) Inoltre, se $P$ è il quarto vertice del parallelo $AGCP$, dimostrare che il triangolo $GAP$ è simile a $△ABC$.

src_inmo_1994__Q01

Real root of degree-5 polynomial implies inequality

Prove that if $x$ is a real root of $x^5-x^3+x=a$, then $x^6\ge 2a-1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La radice reale del polinomio di grado-5 implica disuguaglianza

Prova che se $x$ è una radice reale di $x^5-x^3+x=a$, allora $x^6\ge 2a-1$.

src_inmo_1994__Q02

Among 181 perfect squares, 19 have sum divisible by 19

Prove that among any 181 perfect squares there exist 19 whose sum is divisible by 19.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tra i 181 quadrati perfetti, 19 hanno la somma divisibile per 19

Prove che tra i 181 quadrati perfetti ci sono 19 la cui somma è divisibile per 19.

src_inmo_1994__Q03

Count non-degenerate triangles with vertices in integer-coordinate set

Find the number of (nondegenerate) triangles whose vertices lie in the set of points $(s,t)$ in the plane with $s,t\in \{0,1,2,3,4\}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i triangoli non degenerati con vertici nell’insieme di coordinate interi

Trova il numero di triangoli (non generati) le cui vertici si trovano nell’insieme dei punti $(s,t)$ nel piano con $s,t\in \{0,1,2,3,4\}$.

src_inmo_1994__Q04

Circle through vertex of rectangle tangent to two sides; distance to diagonal

A circle through vertex $C$ of a rectangle $ABCD$ is tangent to sides $AB$ and $AD$ at $M$ and $N$. Given that the distance from $C$ to the line $MN$ equals 5, compute the area of rectangle $ABCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo attraverso il vertice di rettangolo tangente a due lati; distanza a diagonale

Un cerchio attraverso il vertice $C$ di un rettangolo $ABCD$ è tangente ai lati $AB$ e $AD$ a $M$ e $N$. Dato che la distanza da $C$ alla linea $MN$ è pari a 5, calcolare l’area del rettangolo $ABCD$.

src_inmo_1994__Q05

Find all functions satisfying two functional equations

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ which satisfy $f(-x)=f(x)\text{and}f(x+1)=f(x)+1\text{for all }x,$ and $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x^2}\text{for all }x\ne 0.$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni che soddisfano due equazioni funzionali

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che soddisfano $f(-x)=f(x)\text{and}f(x+1)=f(x)+1\text{for all }x,$ e $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x^2}\text{for all }x\ne 0.$

src_inmo_1994__Q06