Indian National Mathematical Olympiad 1995

Orthocenter, midpoint, symmetric point in triangle with angle 30

In an acute-angled triangle $ABC$ with $\angle A=30^{\circ }$, $H$ is the orthocenter and $M$ the midpoint of $BC$. Point $T$ is symmetric to $H$ with respect to $M$. Show that $AT=2BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ortocentro, punto medio, punto simmetrico in triangolo con angolo 30

In un triangolo a angolo acuto $ABC$ con $\angle A=30^{\circ }$, $H$ è l’ortocentro e $M$ il punto medio di $BC$. Il punto $T$ è simmetrico a $H$ rispetto a $M$. Mostra che $AT=2BC$.

src_inmo_1995__Q01

Infinitely many coprime pairs with two quadratics having integer roots

Show that there are infinitely many pairs $(a,b)$ of coprime integers such that both the quadratic equations $x^2+ax+b=0$ and $x^2+2ax+b=0$ have integer roots.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Infinitamente molte copriemi con due quadratici con radici interi

Mostrare che ci sono infinite coppie $(a,b)$ di integri coprimi in modo tale che sia le equazioni quadratiche $x^2+ax+b=0$ che $x^2+2ax+b=0$ abbiano radici di enti.

src_inmo_1995__Q02

Count three-element subsets of {1,…,65} with a+b+c<95

Show that the number of three-element subsets $\{a,b,c\}$ of $\{1,2,\dots ,65\}$ with $a+b+c<95$ is less than the number of those with $a+b+c>95$.

Topic: Combinatoria Metodo: Biiezione, Simmetria, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i sottogruppi di tre elementi di {1,…,65} con a+b+c<95

Indicare che il numero di sottogruppi di tre elementi $\{a,b,c\}$ di $\{1,2,\dots ,65\}$ con $a+b+c<95$ è inferiore a quello di quelli con $a+b+c>95$.

src_inmo_1995__Q03

Ratio of radii of mixtilinear circle to incircle equals tan^2((B-C)/4)

Let $\Gamma$ be the circle lying inside a triangle $ABC$ and touching the sides $AB$ and $AC$ and the incircle ${\Gamma }^{\prime }$ of the triangle externally. Show that the ratio of the radii of $\Gamma$ and ${\Gamma }^{\prime }$ equals ${\tan }^2\frac{B-C}{4}$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Ratio di radii di cerchio mistilineare a cerchio incircolo = tan^2((B-C)/4) *

Il $\Gamma$ deve essere il cerchio situato all’interno di un triangolo $ABC$ e che tocca i lati $AB$ e $AC$ e l’incircolo ${\Gamma }^{\prime }$ del triangolo esternamente. Indicare che il rapporto tra i raggi di $\Gamma$ e ${\Gamma }^{\prime }$ è uguale a ${\tan }^2\frac{B-C}{4}$.

src_inmo_1995__Q04

Real numbers a_k>1 satisfying sum condition, prove double sum inequality

The real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ are all greater than $1$ and satisfy $|a_k-a_{k+1}|<1$ for $1\le k\le n-1$. Prove that $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots +\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}<2n-1.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numeri reali a_k>1 che soddisfano la condizione di somma, dimostrano la disuguaglianza della somma doppia

I numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$ sono tutti superiori a $1$ e soddisfano $|a_k-a_{k+1}|<1$ per $1\le k\le n-1$. Provare che $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots +\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}<2n-1.$

src_inmo_1995__Q05

Find all primes p for which (2^p - 1)/p is a perfect square

Find all primes $p$ for which $\frac{2^p-1}{p}$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutte le prime p per le quali (2^p - 1)/p è un quadrato perfetto

Trova tutti i numeri primi $p$ per i quali $\frac{2^p-1}{p}$ è un quadrato perfetto.

src_inmo_1995__Q06