Indian National Mathematical Olympiad 1996

Existence and uniqueness of divisibility condition for s+j

(a) Show that, for any positive integer $n$, there exist distinct positive integers $x$ and $y$ such that $x+j$ divides $y+j$ for $j=1,2,\dots ,n$.

(b) If for some positive integers $x$ and $y$, $x+j$ divides $y+j$ for all positive integers $j$, show that $x=y$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Esistenza e unicità della condizione di divisibilità per s+j

(a) Indicare che, per ogni intero positivo $n$, esistono diversi interi positivi $x$ e $y$ in modo tale che $x+j$ divida $y+j$ per $j=1,2,\dots ,n$.

b) Se per alcuni integri positivi $x$ e $y$, $x+j$ divide $y+j$ per tutti gli integri positivi $j$, indicare che $x=y$.

src_inmo_1996__Q01

Concentric circles C1, C2 with radii R and 3R; orthocenters

Let $C_1$ and $C_2$ be two concentric circles in the plane with radii $R$ and $3R$ respectively. Show that the orthocenter of any triangle inscribed in $C_1$ lies in the interior of $C_2$. Conversely, show that every point in the interior of $C_2$ is the orthocenter of some triangle inscribed in $C_1$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli concentrici C1, C2 con radii R e 3R; ortocentri

Si tratta di due cerchi concentrici nel piano con radii $R$ e $3R$ rispettivamente. Indicare che l’ortocentro di qualsiasi triangolo inserito in $C_1$ si trova all’interno di $C_2$. Al contrario, mostrare che ogni punto all’interno di $C_2$ è l’ortocentro di un triangolo inciso in $C_1$.

src_inmo_1996__Q02

Solve cyclic system of four cubic equations in a,b,c,d,e

Solve in real numbers $a,b,c,d,e$ the following system of equations: $3a=(b+c+d{)}^3,3b=(c+d+e{)}^3,3c=(d+e+a{)}^3,$ $3d=(e+a+b{)}^3.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi sistema ciclico di quattro equazioni cubiche in a,b,c,d,e

Risolvere in numeri reali $a,b,c,d,e$ il seguente sistema di equazioni: $3a=(b+c+d{)}^3,3b=(c+d+e{)}^3,3c=(d+e+a{)}^3,$ $3d=(e+a+b{)}^3.$

src_inmo_1996__Q03

Count ordered triples (A,B,C) of subsets with A⊂B⊂C of n-element set

Find the number of ordered triples $(A,B,C)$ of subsets of a given $n$-element set $X$ such that $A\subset B\subset C$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i tripli ordinati (A,B,C) dei sottogruppi con A⊂B⊂C del set di n-elementi

Trova il numero di triples ordinati $(A,B,C)$ di sottoinsiemi di un dato set $n$-elemento $X$ in modo tale che $A\subset B\subset C$.

src_inmo_1996__Q04

Sequence with a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2; prove a_{4m+2} is a term

The sequence $(a_n{)}_{n\ge 1}$ is defined by $a_1=1$, $a_2=2$, and $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2\text{for }n\ge 1.$ Prove that for any $m$, $a_{4m+2}$ is also a term of the sequence.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza con a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2; dimostra a_{4m+2} è un termine

La sequenza $(a_n{)}_{n\ge 1}$ è definita da $a_1=1$, $a_2=2$ e $a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+2\text{for }n\ge 1.$ Prove che per qualsiasi $m$, $a_{4m+2}$ è anche un termine della sequenza.

src_inmo_1996__Q05

2n×2n binary array with 5n zeros; delete n rows and n columns to remove all zeros

Given a $2n\times 2n$ array of 0’s and 1’s containing exactly $5n$ zeros, show that it is possible to remove all the zeros by deleting some $n$ rows and $n$ columns.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

2n×2n array binario con 5n zero; rimuovere n righe e n colonne per rimuovere tutti i zero

Data una serie di 0 e 1 $2n\times 2n$ contenenti esattamente 0 $5n$, mostrare che è possibile rimuovere tutti gli zero eliminando alcune righe $n$ e colonne $n$.

src_inmo_1996__Q06