Indian National Mathematical Olympiad 1998

Chord, midpoint, tangent circle, and distance relation

Let $AB$ be a chord of a circle ${\mathcal{C}}_1$ that is not a diameter, and $M$ be the midpoint of $AB$. Let $T$ be a point on the circle ${\mathcal{C}}_2$ with $OM$ as diameter. The tangent to ${\mathcal{C}}_2$ at $T$ meets ${\mathcal{C}}_1$ at $P$. Show that $P{A}^2+P{B}^2=4P{T}^2.$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Cordo, punto medio, cerchio tangente e rapporto di distanza

Che $AB$ sia un cordone di un cerchio ${\mathcal{C}}_1$ che non è diametro e $M$ sia il punto medio di $AB$. Il $T$ deve essere un punto sul cerchio ${\mathcal{C}}_2$ con $OM$ come diametro. La tangente di ${\mathcal{C}}_2$ a $T$ incontra ${\mathcal{C}}_1$ a $P$. Indicare che $P{A}^2+P{B}^2=4P{T}^2.$

src_inmo_1998__Q01

Rationality condition for sum of two square roots

Let $a$ and $b$ be positive real numbers. Prove that if $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ is a rational number, then so are $\sqrt{a}$ and $\sqrt{b}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Condizione di razionalità per la somma di due radici quadrate

$a$ e $b$ siano numeri reali positivi. Prova che se $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ è un numero razionale, allora lo sono anche $\sqrt{a}$ e $\sqrt{b}$.

src_inmo_1998__Q02

Divisibility by 5 for a polynomial evaluated at an integer

Let $p,q,r,s$ be four integers with $5\mid s$. If there is an integer $a$ for which $p{a}^2+qa+r$ is divisible by 5, prove that there is an integer $b$ such that $s{b}^2+rb+q$ is also divisible by 5.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Divisibilità per 5 per un polinomio valutato a un intero

$p,q,r,s$ siano quattro integri con $5\mid s$. Se vi è un intero $a$ per il quale $p{a}^2+qa+r$ è divisibile per 5, dimostrare che vi è un intero $b$ tale che $s{b}^2+rb+q$ sia anche divisibile per 5.

src_inmo_1998__Q03

Cyclic quadrilateral with unit circumradius and equal diagonals is a square

A convex quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle of unit radius. Show that if $AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA\ge 4$, then $ABCD$ is a square.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quadrilatero ciclico con radius unitario e diagonali uguali è un quadrato

Un quadrilaterale convex $ABCD$ è inserito in un cerchio di raggio unitario. Mostra che se $AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA\ge 4$, allora $ABCD$ è un quadrato.

src_inmo_1998__Q04

Real quadratic with complex roots implies triangle inequality

Suppose $a,b,c$ are real numbers such that the quadratic equation $x^2-(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0$ has roots of the form $\alpha \pm i\beta$, where $\alpha >0$ and $\beta \ne 0$ are real numbers. Show that: (a) The numbers $a,b,c$ are all positive. (b) The numbers $\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$, $\sqrt{c}$ are the sides of a triangle.

Topic: Algebra, Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Real quadratico con radici complesse implica disuguaglianza triangolare

Supponiamo che $a,b,c$ siano numeri reali in modo tale che l’equazione quadrata $x^2-(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0$ abbia radici della forma $\alpha \pm i\beta$, dove $\alpha >0$ e $\beta \ne 0$ sono numeri reali. Mostrare che: a) I numeri $a,b,c$ sono tutti positivi. b) I numeri $\sqrt{a}$, $\sqrt{b}$, $\sqrt{c}$ sono i lati di un triangolo.

src_inmo_1998__Q05

Choose n integers from 0..2n so average is integer, find minimum n

We want to choose $n$ of the $2n$ integers $0,1,2,\dots ,2n-1$ such that the average of the $n$ chosen integers is an integer and as small as possible. Show that this can be done for each positive integer $n$ and find this smallest value.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Estremalità, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Scegliere n numeri interi da 0..2n in modo che la media sia un intero, trovare n minimo *

Vogliamo scegliere $n$ dei numeri interi $2n$ $0,1,2,\dots ,2n-1$ in modo tale che la media dei numeri interi $n$ scelti sia un numero intero e il più piccolo possibile. Mostrare che questo può essere fatto per ogni intero positivo $n$ e trovare questo valore più piccolo.

src_inmo_1998__Q06