Indian National Mathematical Olympiad 1999

Acute triangle with angle bisector and midpoint perimeter condition

Points $D$, $E$, $F$ are taken on the sides $BC$, $CA$, $AB$ of an acute-angled triangle $ABC$ such that $AD\perp BC$, $AE=BC$, and $CF$ bisects $\angle C$. Suppose that $CF$ meets $AD$ at $M$ and $DE$ at $N$ such that $FM=2$, $MN=1$, and $NC=3$. Find the perimeter of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con bisettore angolare e condizione del perimetro del punto medio

I punti $D$, $E$, $F$ sono prelevati sui lati $BC$, $CA$, $AB$ di un triangolo acuto angolato $ABC$ in modo tale che $AD\perp BC$, $AE=BC$ e $CF$ bisecci $\angle C$. Supponiamo che $CF$ soddisfi $AD$ a $M$ e $DE$ a $N$ in modo tale che $FM=2$, $MN=1$ e $NC=3$. Trova il perimetro di $△ABC$.

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Village cleanup rectangular field with integer sides and 1998 equal parts

In a village 1998 persons volunteered to clean up, for a fair, a rectangular field with integer sides and perimeter equal to 3996 feet. For this purpose, the field was divided into 1998 equal parts. If each part had an integer area, find the length and width of the field.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Campo rettangolare di pulizia del villaggio con lati interi e parti uguali del 1998

In un villaggio nel 1998 persone si sono offerte volontarie per pulire, per una fiera, un campo rettangolare con lati interi e perimetro pari a 3996 piedi. A tal fine, il campo è stato diviso in parti uguali nel 1998. Se ogni parte ha un’area interiore, trova la lunghezza e la larghezza del campo.

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Nonconstant polynomials p(x) and q(x) with integer coefficients satisfying p(x)q(x) = x^4 + 2x + 1

Prove that there are no nonconstant polynomials $p(x)$ and $q(x)$ with integer coefficients such that $p(x)q(x)=x^4+2x+1$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomi non costanti p(x) e q(x) con coefficienti interi che soddisfano p(x)q(x) = x^4 + 2x + 1

Prova che non esistono polinomi non costanti $p(x)$ e $q(x)$ con coefficienti interi come $p(x)q(x)=x^4+2x+1$.

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Equilateral triangles inscribed in concentric circles inequality for arbitrary points

The equilateral triangles $ABC$ and $A_1{B}_1{C}_1$ are inscribed in concentric circles $\Gamma$ and ${\Gamma }_1$ respectively. If $P$ and $P_1$ are arbitrary points on $\Gamma$ and ${\Gamma }_1$ respectively, prove that $P_1{A}^2+P_1{B}^2+P_1{C}^2=P{A}_1^2+P{B}_1^2+P{C}_1^2.$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangoli equalaterali inscritti in cerchi concentrici disuguaglianza per punti arbitrari

I triangoli equilaterali $ABC$ e $A_1{B}_1{C}_1$ sono inseriti rispettivamente in cerchi concentrici $\Gamma$ e ${\Gamma }_1$. Se $P$ e $P_1$ sono punti arbitrari rispettivamente su $\Gamma$ e ${\Gamma }_1$, dimostrare che $P_1{A}^2+P_1{B}^2+P_1{C}^2=P{A}_1^2+P{B}_1^2+P{C}_1^2.$

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Four distinct positive integers A, B, C with three quadratics all having real or all non-real roots

Show that among any four distinct positive numbers one can choose three, say $A$, $B$, $C$, such that the three quadratic equations $B{x}^2+x+C=0$ $C{x}^2+x+A=0$ $A{x}^2+x+B=0$ either all have real roots or all have non-real roots.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quattro diversi interi positivi A, B, C con tre quadratici tutti con radici reali o non reali

Mostrare che tra qualsiasi numero positivo distinto si possono scegliere tre, ad esempio $A$, $B$, $C$, in modo tale che le tre equazioni quadratiche $B{x}^2+x+C=0$ $C{x}^2+x+A=0$ $A{x}^2+x+B=0$ abbiano tutte radici reali o tutte radici non reali.

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Split set {1,2,…,4n} into disjoint four-element subsets with equal element sum

For which positive integers $n$ can the set $\{1,2,\dots ,4n\}$ be split into $n$ disjoint four-element subsets $\{a,b,c,d\}$ such that in each of them $a=\frac{b+c+d}{3}$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Split set {1,2,…,4n} in sottosette disconnessi di quattro elementi con somma di elementi uguale

Per quali integri positivi $n$ può essere diviso l’insieme $\{1,2,\dots ,4n\}$ in $n$ disgiunti sottoinsiemi di quattro elementi $\{a,b,c,d\}$ in modo che in ciascuno di essi $a=\frac{b+c+d}{3}$?

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