Indian National Mathematical Olympiad 2000

Incircle touch points; line PQ bisects two sides

The in-circle of triangle $ABC$ touches the sides $BC$, $CA$ and $AB$ in $K$, $L$ and $M$ respectively. The line through $A$ and parallel to $LK$ meets $MK$ in $P$ and the line through $A$ and parallel to $MK$ meets $LK$ in $Q$. Show that the line $PQ$ bisects the sides $AB$ and $AC$ of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti di contatto in cerchio; la linea PQ divide due lati

Il cerchio del triangolo $ABC$ tocca rispettivamente i lati $BC$, $CA$ e $AB$ di $K$, $L$ e $M$. La linea attraverso $A$ e parallela a $LK$ incontra $MK$ in $P$ e la linea attraverso $A$ e parallela a $MK$ incontra $LK$ in $Q$. Indicare che la linea $PQ$ divide i lati $AB$ e $AC$ del triangolo $ABC$.

src_inmo_2000__Q01

Solve integer system x+y=1-z, x^3+y^3=1-z^2

Solve for integers $x,y,z$: $x+y=1-z,x^3+y^3=1-z^2.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Solvi sistema di numeri interi x+y=1-z, x^3+y^3=1-z^2

Risolvere per i numeri interi $x,y,z$: $x+y=1-z,x^3+y^3=1-z^2.$

src_inmo_2000__Q02

Equal ratios with abc nonzero: a+b+c=0 or a=b=c

If $a,b,c$ are real numbers such that $abc\ne 0$ and $\frac{xb+(1-x)c}{a}=\frac{xc+(1-x)a}{b}=\frac{xa+(1-x)b}{c},$ then prove that either $a+b+c=0$ or $a=b=c$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rationi uguali con abc non zero: a+b+c=0 o a=b=c

Se $a,b,c$ sono numeri reali come $abc\ne 0$ e $\frac{xb+(1-x)c}{a}=\frac{xc+(1-x)a}{b}=\frac{xa+(1-x)b}{c},$, dimostrare che $a+b+c=0$ o $a=b=c$.

src_inmo_2000__Q03

Convex quadrilateral with special sides and angle; prove angle difference 90°

In a convex quadrilateral $PQRS$, $PQ=RS=(\sqrt{3}+1)QR=SP$ and $\angle RSP-\angle SPQ=30^{\circ }$. Prove that $\angle PQR-\angle QRS=90^{\circ }.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero convex con lati e angoli speciali; prova la differenza di angolo 90°

In un quadrilaterale converso $PQRS$, $PQ=RS=(\sqrt{3}+1)QR=SP$ e $\angle RSP-\angle SPQ=30^{\circ }$. Provare che $\angle PQR-\angle QRS=90^{\circ }.$

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Cubic root with 1≤a≤b≤c≥0: |λ|≤1

Let $a,b,c$ be three real numbers such that $1\le a\le b\le c\ge 0$. Prove that if $\lambda$ is a root of the cubic equation $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ (real or complex), then $|\lambda |\le 1$.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Rota cubica con 1 ≤a ≤b ≤c ≥0: 0: 0

$a,b,c$ siano tre numeri reali come $1\le a\le b\le c\ge 0$. Prove che se $\lambda$ è una radice dell’equazione cubica $x^3+a{x}^2+bx+c=0$ (reale o complessa), allora $|\lambda |\le 1$.

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f(n) counts integer-sided triangles; prove f(1999)>f(1996) and f(2000)=f(1997)

For any natural number $n$ ($n\ge 3$), let $f(n)$ denote the number of non-congruent integer-sided triangles with perimeter $n$ (e.g., $f(3)=1$, $f(4)=0$, $f(7)=2$). Show that (a) $f(1999)>f(1996)$; (b) $f(2000)=f(1997)$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

f(n) conta i triangoli a lato intero; prova f(1999)>f(1996) e f(2000)=f(1997)

Per qualsiasi numero naturale $n$ ($n\ge 3$), $f(n)$ indichi il numero di triangoli a lato intero non congruenti con perimetro $n$ (ad esempio, $f(3)=1$, $f(4)=0$, $f(7)=2$). Indicare che (a) $f(1999)>f(1996)$; (b) $f(2000)=f(1997)$.

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