Indian National Mathematical Olympiad 2001

Reflections of point P in triangle sides; incentre, circumcentre, orthocentre

Let $ABC$ be a triangle in which no angle is $90^{\circ }$. For any point $P$ in the plane of the triangle, let $A_1,B_1,C_1$ denote the reflections of $P$ in the sides $BC,CA,AB$ respectively. Prove the following statements: (a) If $P$ is the incentre or an excentre of $ABC$, then $P$ is the circumcentre of $A_1{B}_1{C}_1$; (b) If $P$ is the circumcentre of $ABC$, then $P$ is the orthocentre of $A_1{B}_1{C}_1$; (c) If $P$ is the orthocentre of $ABC$, then $P$ is either the incentre or an excentre of $A_1{B}_1{C}_1$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Riflessi del punto P nei lati del triangolo; incentro, circoncentro, ortocentro

$ABC$ sia un triangolo in cui nessun angolo è $90^{\circ }$. Per qualsiasi punto $P$ nel piano del triangolo, $A_1,B_1,C_1$ indichi i riflessi di $P$ rispettivamente nei lati $BC,CA,AB$. Provare le seguenti affermazioni: (a) Se $P$ è l’incentro o un eccentro di $ABC$, allora $P$ è il circoncentro di $A_1{B}_1{C}_1$; (b) Se $P$ è il circoncentro di $ABC$, allora $P$ è l’ortocentro di $A_1{B}_1{C}_1$; (c) Se $P$ è l’ortocentro di $ABC$, allora $P$ è o l’incentro o un eccentro di $A_1{B}_1{C}_1$.

src_inmo_2001__Q01

Equation x²+y²+z²=(x-y)(y-z)(z-x) has infinitely many integer solutions

Show that the equation $x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x)$ has infinitely many solutions in integers $x,y,z$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione x2+y2+z2=(x-y)(y-z)(z-x) ha infinite soluzioni interi

Mostrare che l’equazione $x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x)$ ha infinite soluzioni in numeri interi $x,y,z$.

src_inmo_2001__Q02

If abc=1 with a,b,c positive reals, prove a^(b+c)·b^(c+a)·c^(a+b)≤1

If $a,b,c$ are positive real numbers such that $abc=1$, prove that $a^{b+c}\cdot b^{c+a}\cdot c^{a+b}\le 1.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Se abc=1 con a,b,c valori reali positivi, dimostrare a^(b+c)·b^(c+a)·c

Se $a,b,c$ sono numeri reali positivi come $abc=1$, dimostrare che $a^{b+c}\cdot b^{c+a}\cdot c^{a+b}\le 1.$

src_inmo_2001__Q03

From nine integers choose four with a+b-c-d divisible by 20; eight integers insufficient

Given any nine integers, show that it is possible to choose, from among them, four integers $a,b,c,d$ such that $a+b-c-d$ is divisible by $20$. Further show that such a selection is not possible if we start with eight integers instead of nine.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Da nove numeri interi scegliete quattro con a+b-c-d divisibile per 20; otto numeri interi insufficienti

Date nove numeri interi, mostrare che è possibile scegliere, tra loro, quattro numeri interi $a,b,c,d$ in modo tale che $a+b-c-d$ sia divisibile da $20$. Inoltre mostrano che una tale selezione non è possibile se iniziamo con otto numeri interi invece di nove.

src_inmo_2001__Q04

Triangle with D midpoint of BC, angle conditions; prove AOD equilateral

Let $ABC$ be a triangle and $D$ be the mid-point of $BC$. Suppose $\angle DAB=\angle DCA=15^{\circ }$. Further, if $O$ is the circumcentre of $ADC$, prove that triangle $AOD$ is equilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo con punto medio D di BC, condizioni d’angolo; prova AOD equilaterale *

Che $ABC$ sia un triangolo e $D$ il punto medio di $BC$. Supponiamo $\angle DAB=\angle DCA=15^{\circ }$. Inoltre, se $O$ è il circoncentro di $ADC$, dimostrare che il triangolo $AOD$ è equilaterale.

src_inmo_2001__Q05

Find all f:R→R satisfying f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)

Let $\mathbf{R}$ denote the set of real numbers. Find all functions $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ satisfying the condition $f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)$ for all $x,y\in \mathbf{R}$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Casework, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le f:R→R soddisfacenti f:x+y) =f:x)f:y:f:xy)

$\mathbf{R}$ indichi l’insieme dei numeri reali. Trova tutte le funzioni $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ che soddisfano la condizione $f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)$ per tutte le $x,y\in \mathbf{R}$.

src_inmo_2001__Q06