Indian National Mathematical Olympiad 2002

Convex hexagon with opposite sides conditions implies cyclic

For a convex hexagon $ABCDEF$ in which each pair of opposite sides is unequal, consider the following six statements: $(a_1)$ $AB$ is parallel to $DE$; $(a_2)$ $AE=BD$; $(b_1)$ $BC$ is parallel to $EF$; $(b_2)$ $BF=CE$; $(c_1)$ $CD$ is parallel to $FA$; $(c_2)$ $CA=DF$.

(a) Show that if all six statements are true, then the hexagon is cyclic (i.e., it can be inscribed in a circle).

(b) Prove that, in fact, any five of these six statements also imply that the hexagon is cyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Geometria Fonte: apri PDF

Esagono converso con condizioni laterali opposte implica ciclico

Per un esagono convexo $ABCDEF$ in cui ciascuna coppia di lati opposti è diseguale, considerate le seguenti sei affermazioni: $(a_1)$ $AB$ è parallelo a $DE$; $(a_2)$ $AE=BD$; $(b_1)$ $BC$ è parallelo a $EF$; $(b_2)$ $BF=CE$; $(c_1)$ $CD$ è parallelo a $FA$; $(c_2)$ $CA=DF$.

(a) Mostrare che se tutte e sei le affermazioni sono vere, l’esagono è ciclico (cioè può essere inscritto in un cerchio).

(b) Prove che, in effetti, qualsiasi cinque di queste sei affermazioni implicano anche che l’esagono è ciclico.

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Least positive value of $a^3+b^3+c^3-3abc$ over positive integers

Determine the least positive value taken by the expression $a^3+b^3+c^3-3abc$ as $a,b,c$ vary over all positive integers. Find also all triples $(a,b,c)$ for which this least value is attained.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Meno valore positivo di $a^3+b^3+c^3-3abc$ su integri positivi

Determinare il valore minimo positivo assunto dall’espressione $a^3+b^3+c^3-3abc$ in quanto $a,b,c$ varia su tutti gli integri positivi. Trova anche tutti i triples $(a,b,c)$ per i quali si ottiene questo valore minimo.

src_inmo_2002__Q02

Prove $x^2{y}^2(x^2+y^2)\le 2$ for positive reals with $x+y=2$

Let $x,y$ be positive reals such that $x+y=2$. Prove that $x^2{y}^2(x^2+y^2)\le 2.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove $x^2{y}^2(x^2+y^2)\le 2$ per i risultati positivi con $x+y=2$

Che $x,y$ siano valori reali positivi tali che $x+y=2$. Provare che $x^2{y}^2(x^2+y^2)\le 2.$

src_inmo_2002__Q03

Existence of 100 lines with exactly 2002 intersection points

Do there exist 100 lines in the plane, no three of them concurrent, such that they intersect exactly in 2002 points?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Esistenza di 100 linee con punti di intersezione esatti 2002

Esistono 100 linee nel piano, nessuna delle tre contemporaneamente, in modo che si incrociano esattamente nei punti del 2002?

src_inmo_2002__Q04

Existence of distinct positive reals forming a 7-term arithmetic progression

Do there exist three distinct positive real numbers $a,b,c$ such that $a,b,c,b+c-a,c+a-b,a+b-c$ and $a+b+c$ form a 7-term arithmetic progression in some order?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Esistenza di reali positivi distinti che formano una progressione aritmetica a 7 termini

Esistono tre numeri reali positivi distinti $a,b,c$ in modo tale che $a,b,c,b+c-a,c+a-b,a+b-c$ e $a+b+c$ formino una progressione aritmetica a 7 termini in qualche ordine?

src_inmo_2002__Q05

Bound on diagonal entries of increasing $n\times n$ array

Suppose the $n^2$ numbers $1,2,3,\dots ,n^2$ are arranged to form an $n$ by $n$ array consisting of $n$ rows and $n$ columns such that the numbers in each row (from left to right) and each column (from top to bottom) are in increasing order. Denote by $a_{jk}$ the number in $j$-th row and $k$-th column. Suppose $b_j$ is the maximum possible number of entries that can occur as $a_{jj}$, $1\le j\le n$. Prove that $b_1+b_2+\cdots +b_n\le \frac{n}{3}(n^2-3n+5).$

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Induzione, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ribbito su voci diagonali di array in aumento $n\times n$

Supponiamo che i numeri $n^2$ $1,2,3,\dots ,n^2$ siano disposti per formare un array $n$ da $n$ composto da righe $n$ e colonne $n$ in modo tale che i numeri di ogni riga (da sinistra a destra) e di ogni colonna (da cima a sotto) siano in ordine crescente. Indicare con $a_{jk}$ il numero nella riga $j$-th e nella colonna $k$-th. Supponiamo che $b_j$ sia il numero massimo possibile di voci che possono verificarsi come $a_{jj}$, $1\le j\le n$. Provare che $b_1+b_2+\cdots +b_n\le \frac{n}{3}(n^2-3n+5).$

src_inmo_2002__Q06