Indian National Mathematical Olympiad 2003

Cevians in acute triangle; DK bisects angle EKF

Consider an acute triangle $ABC$ and let $P$ be an interior point of $ABC$. Suppose the lines $BP$ and $CP$, when produced, meet $AC$ and $AB$ in $E$ and $F$ respectively. Let $D$ be the point where $AP$ intersects the line segment $EF$ and $K$ be the foot of perpendicular from $D$ on to $BC$. Show that $DK$ bisects $\angle EKF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ceviani in triangolo acuto; DK bisecta angolo EKF

Considera un triangolo acuto $ABC$ e lascia che $P$ sia un punto interno di $ABC$. Supponiamo che le linee $BP$ e $CP$, quando prodotte, soddisfino $AC$ e $AB$ rispettivamente in $E$ e $F$. $D$ sia il punto in cui $AP$ incrocia il segmento di linea $EF$ e $K$ sia il piede di perpendicolare da $D$ a $BC$. Indicare che $DK$ bisecta $\angle EKF$.

src_inmo_2003__Q01

Find all primes p,q and even n>2 satisfying a sum equation

Find all prime $p$ and $q$, and even numbers $n>2$, satisfying the equation $p^n+p^{n-1}+\cdots +p+1=q^2+q+1.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le prime p,q e anche n>2 che soddisfano un’equazione somma

Trova tutti i numeri primi $p$ e $q$, e numeri pari $n>2$, soddisfacendo l’equazione $p^n+p^{n-1}+\cdots +p+1=q^2+q+1.$

src_inmo_2003__Q02

Quartic has non-real root; find sum of all non-real roots

Show that for every real number $a$ the equation 8x^4 - 16x^3 + 16x^2 - 8x + a = 0 \tag{1} has at least one non-real root and find the sum of all the non-real roots of the equation.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quartico ha radice non reale; trovare la somma di tutte le radici non reali

Mostrare che per ogni numero reale $a$ l’equazione 8x^4 - 16x^3 + 16x^2 - 8x + a = 0 \tag{1} ha almeno una radice non reale e trovare la somma di tutte le radici non reali dell’equazione.

src_inmo_2003__Q03

Find all 7-digit numbers using digits 5 and 7, divisible by both 5 and 7

Find all $7$-digit numbers formed by using only the digits $5$ and $7$, and divisible by both $5$ and $7$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri a 7 cifre utilizzando i numeri 5 e 7, divisibili sia per 5 che per 7

Trovare tutti i numeri $7$ di cifre formati utilizzando solo i numeri $5$ e $7$, e divisibili sia per $5$ che per $7$.

src_inmo_2003__Q04

Triangle with augmented sides has area at least 3/4 of original

Let $ABC$ be a triangle with sides $a$, $b$, $c$. Consider a triangle $A_1{B}_1{C}_1$ with sides equal to $a+\frac{b}{2}$, $b+\frac{c}{2}$, $c+\frac{a}{2}$. Show that $[A_1{B}_1{C}_1]\ge \frac{3}{4}[ABC],$ where $[XYZ]$ denotes the area of triangle $XYZ$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Un triangolo con lati aumentati ha una superficie almeno 3/4 dell’originale

Il $ABC$ deve essere un triangolo con lati $a$, $b$, $c$. Considerate un triangolo $A_1{B}_1{C}_1$ con lati uguali a $a+\frac{b}{2}$, $b+\frac{c}{2}$, $c+\frac{a}{2}$. Indicare che $[A_1{B}_1{C}_1]\ge \frac{3}{4}[ABC],$ dove $[XYZ]$ indica l’area del triangolo $XYZ$.

src_inmo_2003__Q05

Nine-digit tickets coloured by differing-in-all-places rule; find colour of 123123123

In a lottery, tickets are given nine-digit numbers using only the digits $1$, $2$, $3$. They are also coloured red, blue or green in such a way that two tickets whose numbers differ in all the nine places get different colours. Suppose the ticket bearing the number $122222222$ is red and that bearing the number $222222222$ is green. Determine, with proof, the colour of the ticket bearing the number $123123123$.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Billeti a nove cifre colorati secondo la regola di variazione in tutti i luoghi; trovare il colore di 123123123

In una lotteria, i biglietti ricevono numeri a nove cifre utilizzando solo i numeri $1$, $2$, $3$. Sono anche di colore rosso, blu o verde in modo tale che due biglietti i cui numeri differiscono in tutti e nove i posti ricevono colori diversi. Supponiamo che il biglietto con il numero $122222222$ sia rosso e che il biglietto con il numero $222222222$ sia verde. Determinare, con la prova, il colore del biglietto con il numero $123123123$.

src_inmo_2003__Q06