Indian National Mathematical Olympiad 2004

Convex quadrilateral ABCD with midpoints; prove it is a square

Consider a convex quadrilateral $ABCD$, in which $K$, $L$, $M$, $N$ are the midpoints of the sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ respectively. Suppose (a) $BD$ bisects $KM$ at $Q$; (b) $QA=QB=QC=QD$; and (c) $LK/LM=CD/CB$.

Prove that $ABCD$ is a square.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale convex con punti di mezzo; dimostra che è quadrato

Si consideri un quadrilaterale convex $ABCD$, in cui $K$, $L$, $M$, $N$ sono i punti medi dei lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ rispettivamente. Supponiamo che (a) $BD$ divisa $KM$ a $Q$; (b) $QA=QB=QC=QD$; e (c) $LK/LM=CD/CB$.

Prova che $ABCD$ è un quadrato.

src_inmo_2004__Q01

Find all integer pairs (a,b) satisfying equation with prime p > 3

Suppose $p$ is a prime greater than $3$. Find all pairs of integers $(a,b)$ satisfying the equation $a^2+3ab+2(a+b)+p^2=0.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi (a,b) che soddisfano l’equazione con p primo > 3

Supponiamo che $p$ sia un primo maggiore di $3$. Trova tutte le coppie di integri $(a,b)$ che soddisfano l’equazione $a^2+3ab+2(a+b)+p^2=0.$

src_inmo_2004__Q02

Real root of cubic; prove floor of a^3 equals 3

If $a$ is a real root of the equation $x^3-x^2+x-2=0$, prove that $\lfloor a^3\rfloor =3$. (For any real number $a$, we denote by $\lfloor a\rfloor$ the greatest integer not exceeding $a$.)

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rota reale di cubo; prova il piano di a^3 = 3

Se $a$ è una radice reale dell’equazione $x^3-x^2+x-2=0$, dimostrare che $\lfloor a^3\rfloor =3$. (Per qualsiasi numero reale $a$, indichiamo con $\lfloor a\rfloor$ il numero intero più grande non superiore a $a$.)

src_inmo_2004__Q03

Triangle with 2R ≤ r_a; prove inequalities on sides and exradii

Let $R$ denote the circumradius of a triangle $ABC$; $a$, $b$, $c$ its sides $BC$, $CA$, $AB$; and $r_a$, $r_b$, $r_c$ its exradii opposite $A$, $B$, $C$, respectively. If $2R\le r_a$, prove that (i) $a>b$ and $a>c$; (ii) $2R>r_b$ and $2R>r_c$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con 2R ≤ r_a; dimostrare disuguaglianze laterali ed esradii

$R$ indichi il circondario di un triangolo $ABC$; $a$, $b$, $c$, i suoi lati $BC$, $CA$, $AB$; e $r_a$, $r_b$, $r_c$, rispettivamente, i suoi esradi opposti a $A$, $B$ e $C$. Se $2R\le r_a$, dimostrare che (i) $a>b$ e $a>c$; (ii) $2R>r_b$ e $2R>r_c$.

src_inmo_2004__Q04

6-tuples of positive integers summing squares; find gcd of all abcdef

Let $S$ denote the set of all 6-tuples $(a,b,c,d,e,f)$ of positive integers such that $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=f^2$. Consider the set $T=\{abcdef:(a,b,c,d,e,f)\in S\}.$ Find the greatest common divisor of all the members of $T$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

6 volte i quadrati di numeri interi positivi sommati; trovare gcd di tutti gli abcdef

$S$ indichi l’insieme di tutti i 6 tupli $(a,b,c,d,e,f)$ di enti interi positivi come $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=f^2$. Considera l’insieme $T=\{abcdef:(a,b,c,d,e,f)\in S\}.$ Trova il più grande divisore comune di tutti i membri di $T$.

src_inmo_2004__Q05

Count 5-tuples satisfying reciprocal-sum equation; prove the count is odd

Prove that the number of $5$-tuples of positive integers $(a,b,c,d,e)$ satisfying the equation $abcde=5(bcde+acde+abde+abce+abcd)$ is an odd integer.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria, Fattorizzazione, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare 5 volte che soddisfano l’equazione di somma reciproca; dimostrare che il conteggio è impar

Prove che il numero di $5$-tupli di integri positivi $(a,b,c,d,e)$ che soddisfano l’equazione $abcde=5(bcde+acde+abde+abce+abcd)$ è un intero odd.

src_inmo_2004__Q06