Indian National Mathematical Olympiad 2005

Median meets incircle; prove sides in ratio 5:10:13

Let $M$ be the midpoint of side $BC$ of a triangle $ABC$. Let the median $AM$ intersect the incircle of $ABC$ at $K$ and $L$, $K$ being nearer to $A$ than $L$. If $AK=KL=LM$, prove that the sides of triangle $ABC$ are in the ratio $5:10:13$ in some order.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mediano incircolo; prova lati in rapporto 5:10:13

$M$ sia il punto medio del lato $BC$ di un triangolo $ABC$. La media $AM$ interseca l’incircolo di $ABC$ a $K$ e $L$, $K$ più vicina a $A$ che a $L$. Se $AK=KL=LM$, dimostrare che i lati del triangolo $ABC$ sono nel rapporto $5:10:13$ in un certo ordine.

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Find minimum beta for fraction strictly between two rationals

Let $\alpha$ and $\beta$ be positive integers such that $\frac{43}{197}<\frac{\beta }{\alpha }<\frac{17}{77}.$ Find the minimum possible value of $\beta$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 32 Fonte: apri PDF

Ricerca il beta minimo per la frazione strettamente tra due razionali

$\alpha$ e $\beta$ siano integri positivi in modo tale che $\frac{43}{197}<\frac{\beta }{\alpha }<\frac{17}{77}.$ Trova il valore minimo possibile di $\beta$.

Risposta: 32 src_inmo_2005__Q02

Three equations share root; prove root negative and third has non-real roots

Let $p,q,r$ be real numbers, not all equal, such that some two of the equations $p{x}^2+2qx+r=0,q{x}^2+2rx+p=0,r{x}^2+2px+q=0$ have a common root, say $\alpha$. Prove that (a) $\alpha$ is real and negative; and (b) the third equation has non-real roots.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tre equazioni condividono la radice; dimostrare che la radice è negativa e la terza ha radici non reali

Lasciate che $p,q,r$ siano numeri reali, non tutti uguali, in modo che alcune due delle equazioni $p{x}^2+2qx+r=0,q{x}^2+2rx+p=0,r{x}^2+2px+q=0$ abbiano una radice comune, diciamo $\alpha$. Provare che a) $\alpha$ è reale e negativo; e b) la terza equazione ha radici non reali.

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Find the 2005th 6-digit number with digits in non-increasing order

All possible $6$-digit numbers, in each of which the digits occur in non-increasing order (from left to right, e.g., $877550$) are written as a sequence in increasing order. Find the $2005$-th number in this sequence.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 864110 Fonte: apri PDF

Ricerca il numero a 6 cifre del 2005 con numeri in ordine non crescente

Tutti i numeri $6$ possibili, in ognuno dei quali i numeri si presentano in ordine non in aumento (da sinistra a destra, ad esempio $877550$), sono scritti come una sequenza in ordine in aumento. Trovare il numero $2005$-th in questa sequenza.

Risposta: 864110 src_inmo_2005__Q04

Sequence built by adding nonzero digit; prove infinitely many even terms

Let $x_1$ be a given positive integer. A sequence $(x_n{)}_{n=1}^{\infty }=(x_1,x_2,x_3,\dots )$ of positive integers is such that $x_n$, for $n\ge 2$, is obtained from $x_{n-1}$ by adding some nonzero digit of $x_{n-1}$. Prove that (a) the sequence has an even number; (b) the sequence has infinitely many even numbers.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza costruita aggiungendo cifre non zero; dimostrare infiniti termini pari

$x_1$ sia un dato numero intero positivo. Una sequenza $(x_n{)}_{n=1}^{\infty }=(x_1,x_2,x_3,\dots )$ di numeri interi positivi è tale che $x_n$, per $n\ge 2$, si ottiene da $x_{n-1}$ aggiungendo qualche cifra non zero di $x_{n-1}$. Prova che (a) la sequenza ha un numero pari; (b) la sequenza ha infinitamente molti numeri pari.

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Find all f: R to R satisfying f(x^2 + yf(z)) = xf(x) + zf(y)

Find all functions $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ such that f(x^2 + yf(z)) = xf(x) + zf(y) \tag{1} for all $x,y,z\in \mathbf{R}$. (Here $\mathbf{R}$ denotes the set of all real numbers.)

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Trova tutte le f: R a R soddisfacenti f(x^2 + yf(z)) = xf(x) + zf(y) *

Trova tutte le funzioni $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ in modo tale che f(x^2 + yf(z)) = xf(x) + zf(y) \tag{1} per tutte $x,y,z\in \mathbf{R}$. (Qui $\mathbf{R}$ indica l’insieme di tutti i numeri reali.)

src_inmo_2005__Q06