Indian National Mathematical Olympiad 2006

Triangle with AP sides: IO perp BI, I circumcenter of DKE

In a non-equilateral triangle $ABC$, the sides $a,b,c$ form an arithmetic progression. Let $I$ and $O$ denote the incentre and circumcentre of the triangle respectively.

(i) Prove that $IO$ is perpendicular to $BI$.

(ii) Suppose $BI$ extended meets $AC$ in $K$, and $D$, $E$ are the midpoints of $BC$, $BA$ respectively. Prove that $I$ is the circumcentre of triangle $DKE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con lati AP: IO perp BI, I circumcentro di DKE

In un triangolo non equile $ABC$, i lati $a,b,c$ formano una progressione aritmetica. $I$ e $O$ indicano rispettivamente il centro e il circoncentro del triangolo.

(i) dimostrare che $IO$ è perpendicolare a $BI$.

(ii) Supponiamo che $BI$ si estenda a $AC$ in $K$, e $D$, $E$ sono rispettivamente i punti medi di $BC$ e $BA$. Prova che $I$ è il circoncentro del triangolo $DKE$.

src_inmo_2006__Q01

Unique ordered pair (a,b) giving every positive integer n

Prove that for every positive integer $n$ there exists a unique ordered pair $(a,b)$ of positive integers such that $n=\frac{1}{2}(a+b-1)(a+b-2)+a.$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Biiezione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Un’unica coppia ordinata (a,b) che dà ogni numero intero positivo n

Prove che per ogni intero positivo $n$ esiste una coppia unica **** ordinata $(a,b)$ di interi positivi in modo tale che $n=\frac{1}{2}(a+b-1)(a+b-2)+a.$

src_inmo_2006__Q02

Find all integer triples (a,b,c) with functional equation f(f(a,b,c))=(a,b,c)

Let $X$ denote the set of all triples $(a,b,c)$ of integers. Define a function $f:X\to X$ by $f(a,b,c)=(a+b+c,ab+bc+ca,abc).$ Find all triples $(a,b,c)$ in $X$ such that $f(f(a,b,c))=(a,b,c)$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca tutti i tripli interi (a,b,c) con l’equazione funzionale f((a,b,c))=(a,b,c) *

$X$ indichi l’insieme di tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi. Definire una funzione $f:X\to X$ da $f(a,b,c)=(a+b+c,ab+bc+ca,abc).$ Trovare tutti i triples $(a,b,c)$ in $X$ in modo tale che $f(f(a,b,c))=(a,b,c)$.

src_inmo_2006__Q03

46 red squares on 9x9 board: at least 3 red in every 2x2 block

Some 46 squares of a $9\times 9$ board are coloured red. Show that there exists a $2\times 2$ block of 4 squares of which at least 3 are coloured red.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

46 quadrati rossi sulla lavagna 9x9: almeno 3 rossi in ogni blocco 2x2

Circa 46 quadrati di una lavagna $9\times 9$ sono di colore rosso. Indicare che esiste un blocco $2\times 2$ di 4 quadrati di cui almeno 3 di colore rosso.

src_inmo_2006__Q04

Cyclic quadrilateral ABCD with angle 120 degrees: two inequalities

In a cyclic quadrilateral $ABCD$, $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $\angle ABC=120^{\circ }$, and $\angle ABD=30^{\circ }$. Prove that

(i) $c\ge a+b$;

(ii) $|\sqrt{c+a}-\sqrt{c+b}|=\sqrt{c-a-b}$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale ciclico con angolo di 120 gradi: due disuguaglianze

In un quadrilaterale ciclico $ABCD$, $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $\angle ABC=120^{\circ }$ e $\angle ABD=30^{\circ }$. Prove questo .

(i) $c\ge a+b$;

(ii) $|\sqrt{c+a}-\sqrt{c+b}|=\sqrt{c-a-b}$.

src_inmo_2006__Q05

Find integer l with n < l^2 < (1+1/2005)n for n >= 4011^2

(a) Prove that if $n$ is a positive integer such that $n\ge 4011^2$, then there exists an integer $l$ such that $n<l^2<\left(1+\frac{1}{2005}\right)n.$

(b) Find the smallest positive integer $M$ for which whenever an integer $n$ is such that $n\ge M$, there exists an integer $l$ such that $n<l^2<\left(1+\frac{1}{2005}\right)n.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova l’intero numero con n < l^2 < (1+1/2005)n per n >= 4011^2

(a) Prova che se $n$ è un intero positivo tale che $n\ge 4011^2$, allora esiste un intero $l$ tale che $n<l^2<\left(1+\frac{1}{2005}\right)n.$

(b) Trovare il numero intero positivo $M$ più piccolo per il quale ogni volta che un numero intero $n$ è tale che $n\ge M$, esiste un numero intero $l$ tale che $n<l^2<\left(1+\frac{1}{2005}\right)n.$

src_inmo_2006__Q06