Indian National Mathematical Olympiad 2007

Right triangle, median bisects angle; prove ratio bound

In a triangle $ABC$ right-angled at $C$, the median through $B$ bisects the angle between $BA$ and the bisector of $\angle B$. Prove that $\frac{5}{2}<\frac{AB}{BC}<3.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Triangolo retto, angolo di bisezione mediana; prova il limite di rapporto *

In un triangolo $ABC$ angolato a destra a $C$, la media attraverso $B$ divide l’angolo tra $BA$ e il bisettore di $\angle B$. Provare che $\frac{5}{2}<\frac{AB}{BC}<3.$

src_inmo_2007__Q01

Represent 9n as sum of three squares with nonzero-integer coefficients

Let $n$ be a natural number such that $n=a^2+b^2+c^2$, for some natural numbers $a,b,c$. Prove that $9n=(p_{1}a+q_{1}b+r_{1}c{)}^2+(p_{2}a+q_{2}b+r_{2}c{)}^2+(p_{3}a+q_{3}b+r_{3}c{)}^2,$ where $p_i$‘s, $q_i$‘s, $r_i$‘s are all nonzero integers. Further, if $3$ does not divide at least one of $a,b,c$, prove that $9n$ can be expressed in the form $x^2+y^2+z^2$, where $x,y,z$ are natural numbers none of which is divisible by $3$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Representare 9n come somma di tre quadrati con coefficienti non interi

$n$ sia un numero naturale tale che $n=a^2+b^2+c^2$, per alcuni numeri naturali $a,b,c$. Prove che $9n=(p_{1}a+q_{1}b+r_{1}c{)}^2+(p_{2}a+q_{2}b+r_{2}c{)}^2+(p_{3}a+q_{3}b+r_{3}c{)}^2,$ dove $p_i$, $q_i$, $r_i$ sono tutti ** non zero** integri. Inoltre, se $3$ divide ** non ** almeno uno di $a,b,c$, dimostrare che $9n$ può essere espresso nella forma $x^2+y^2+z^2$, dove $x,y,z$ sono numeri naturali ** nessuno dei quali ** è divisibile da $3$.

src_inmo_2007__Q02

Integer roots iff floor expression is a perfect square

Let $m$ and $n$ be positive integers such that the equation $x^2-mx+n=0$ has real roots $\alpha$ and $\beta$. Prove that $\alpha$ and $\beta$ are integers if and only if $[m\alpha ]+[m\beta ]$ is the square of an integer. (Here $[x]$ denotes the largest integer not exceeding $x$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Rede integrali se l’espressione del pavimento è un quadrato perfetto

Lasciate che $m$ e $n$ siano integri positivi in modo tale che l’equazione $x^2-mx+n=0$ abbia radici reali $\alpha$ e $\beta$. Prova che $\alpha$ e $\beta$ sono numeri interi se e solo se $[m\alpha ]+[m\beta ]$ è il quadrato di un numero intero. (Qui $[x]$ indica il più grande numero intero non superiore a $x$.)

src_inmo_2007__Q03

Count permutations of (1,…,n) with exactly two inversions

Let $\sigma =(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)$ be a permutation of $(1,2,3,\dots ,n)$. A pair $(a_i,a_j)$ is said to correspond to an inversion of $\sigma$, if $i<j$ but $a_i>a_j$. (Example: In the permutation $(2,4,5,3,1)$, there are $6$ inversions corresponding to the pairs $(2,1)$, $(4,3)$, $(4,1)$, $(5,3)$, $(5,1)$, $(3,1)$.) How many permutations of $(1,2,3,\dots ,n)$, $(n\ge 3)$, have exactly two inversions?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{(n+1)(n-2)}{2}$ Fonte: apri PDF

Contate le permutazioni di (1,…,n) con esattamente due inversioni

$\sigma =(a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n)$ sia una permutazione di $(1,2,3,\dots ,n)$. Una coppia $(a_i,a_j)$ corrisponde ad un’inversione di $\sigma$, se $i<j$ ma $a_i>a_j$. (Esempio: nella permutazione $(2,4,5,3,1)$, ci sono $6$ inversioni corrispondenti alle coppie $(2,1)$, $(4,3)$, $(4,1)$, $(5,3)$, $(5,1)$, $(3,1)$.) Quante permutazioni di $(1,2,3,\dots ,n)$, $(n\ge 3)$ hanno esattamente ** due** inversioni?

Risposta: $\frac{(n+1)(n-2)}{2}$ src_inmo_2007__Q04

Isosceles triangle with ratio conditions; prove polynomial and equilateral iff

Let $ABC$ be a triangle in which $AB=AC$. Let $D$ be the mid-point of $BC$ and $P$ be a point on $AD$. Suppose $E$ is the foot of perpendicular from $P$ on $AC$. If $\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{PE}=\lambda ,\frac{BD}{AD}=m,$ and $z=m^2(1+\lambda )$, prove that $z^2-({\lambda }^3-{\lambda }^2-2)z+1=0.$ Hence show that $\lambda \ge 2$ and $\lambda =2$ if and only if $ABC$ is equilateral.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles con condizioni di rapporto; dimostrare polinomial ed equilaterale IF

$ABC$ sia un triangolo in cui $AB=AC$. $D$ sia il punto medio di $BC$ e $P$ sia un punto su $AD$. Supponiamo che $E$ sia il piede di perpendicolare da $P$ su $AC$. Se $\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{PE}=\lambda ,\frac{BD}{AD}=m,$ e $z=m^2(1+\lambda )$, dimostrare che $z^2-({\lambda }^3-{\lambda }^2-2)z+1=0.$ dimostri quindi che $\lambda \ge 2$ e $\lambda =2$ se e solo se $ABC$ è equilaterale.

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Prove cyclic product inequality for positive reals

If $x,y,z$ are positive real numbers, prove that $(x+y+z{)}^2(yz+zx+xy{)}^2\le 3(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2).$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza dei prodotti ciclici per i risultati positivi

Se $x,y,z$ sono numeri reali positivi, dimostrare che $(x+y+z{)}^2(yz+zx+xy{)}^2\le 3(y^2+yz+z^2)(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2).$

src_inmo_2007__Q06