Indian National Mathematical Olympiad 2008

Reflections of incenter concyclic with incenter of reflected triangle

Let $ABC$ be a triangle, $I$ its in-centre; $A_1$, $B_1$, $C_1$ be the reflections of $I$ in $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Suppose the circum-circle of triangle $A_1{B}_1{C}_1$ passes through $A$. Prove that $B_1$, $C_1$, $I$, $I_1$ are concyclic, where $I_1$ is the in-centre of triangle $A_1{B}_1{C}_1$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Riflessi di incentro conciclico con incentro di triangolo riflesso

$ABC$ sia un triangolo, $I$ il suo centro; $A_1$, $B_1$, $C_1$ siano rispettivamente i riflessi di $I$ in $BC$, $CA$ e $AB$. Supponiamo che il circoncircolo del triangolo $A_1{B}_1{C}_1$ passi attraverso $A$. Provare che $B_1$, $C_1$, $I$, $I_1$ sono conciclici, dove $I_1$ è il centro del triangolo $A_1{B}_1{C}_1$.

src_inmo_2008__Q01

Find all prime-natural triples satisfying p^x = y^4 + 4

Find all triples $(p,x,y)$ such that $p^x=y^4+4$, where $p$ and $x$ are prime and $x$, $y$ are natural numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli naturali primari che soddisfano p^x = y^4 + 4

Trova tutti i triples $(p,x,y)$ in modo tale che $p^x=y^4+4$, dove $p$ e $x$ sono numeri primi e $x$, $y$ sono numeri naturali.

src_inmo_2008__Q02

Set with rational a^2+bc implies asqrt(M) rational for all elements*

Let $A$ be a set of real numbers such that $A$ has at least four elements. Suppose $A$ has the property that $a^2+bc$ is a rational number for all distinct numbers $a,b,c$ in $A$. Prove that there exists a positive integer $M$ such that $a\sqrt{M}$ is a rational number for every $a$ in $A$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Set con a^2+bc razionale implica un sqrt(M) razionale per tutti gli elementi

$A$ sia un insieme di numeri reali tale che $A$ abbia almeno quattro elementi. Supponiamo che $A$ abbia la proprietà che $a^2+bc$ è un numero razionale per tutti i numeri distinti $a,b,c$ in $A$. Prova che esiste un intero positivo $M$ tale che $a\sqrt{M}$ sia un numero razionale per ogni $a$ in $A$.

src_inmo_2008__Q03

Three-coloured integer lattice always contains a right-angled triangle with all three colours

All the points with integer coordinates in the $xy$-plane are coloured using three colours, red, blue and green, each colour being used at least once. It is known that the point $(0,0)$ is coloured red and the point $(0,1)$ is coloured blue. Prove that there exist three points with integer coordinates of distinct colours which form the vertices of a right-angled triangle.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Casework, Colorazione, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

La rete di numeri interi a tre colori contiene sempre un triangolo rettangolare con tutti e tre i colori

Tutti i punti con coordinate interi del piano $xy$ sono colorati utilizzando tre colori, rosso, blu e verde, ogni colore utilizzato almeno una volta. È noto che il punto $(0,0)$ è di colore rosso e il punto $(0,1)$ di colore blu. Prova che esistono tre punti con coordinate interi di colori distinti che formano le vertici di un triangolo rettangolo.

src_inmo_2008__Q04

Line OI passes through centre of circle tangent to three equal inscribed circles

Let $ABC$ be a triangle; ${\Gamma }_A$, ${\Gamma }_B$, ${\Gamma }_C$ be three equal, disjoint circles inside $ABC$ such that ${\Gamma }_A$ touches $AB$ and $AC$; ${\Gamma }_B$ touches $AB$ and $BC$; and ${\Gamma }_C$ touches $BC$ and $CA$. Let $\Gamma$ be a circle touching circles ${\Gamma }_A$, ${\Gamma }_B$, ${\Gamma }_C$ externally. Prove that the line joining the circum-centre $O$ and the in-centre $I$ of triangle $ABC$ passes through the centre of $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

La linea OI passa attraverso il centro del cerchio tangente a tre cerchi con iscrizioni uguali

Che $ABC$ sia un triangolo; ${\Gamma }_A$, ${\Gamma }_B$, ${\Gamma }_C$ siano tre cerchi uguali e disconnessi all’interno di $ABC$ in modo tale che ${\Gamma }_A$ tocchi $AB$ e $AC$; ${\Gamma }_B$ tocchi $AB$ e $BC$; e ${\Gamma }_C$ tocchi $BC$ e $CA$. Il $\Gamma$ deve essere un cerchio che tocchi i cerchi ${\Gamma }_A$, ${\Gamma }_B$, ${\Gamma }_C$ all’esterno. Prova che la linea che unisce il centro circostante $O$ e il centro interno $I$ del triangolo $ABC$ passa attraverso il centro di $\Gamma$.

src_inmo_2008__Q05

Integer polynomial P(x) admits multiples that are polynomials in x^2 and x^3

Let $P(x)$ be a given polynomial with integer coefficients. Prove that there exist two polynomials $Q(x)$ and $R(x)$, again with integer coefficients, such that (i) $P(x)Q(x)$ is a polynomial in $x^2$; and (ii) $P(x)R(x)$ is a polynomial in $x^3$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Pollinomio intero P(x) ammette moltipli che sono polinomi in x^2 e x^3

Che $P(x)$ sia un dato polinomio con coefficienti interi. Prove che esistono due polinomi $Q(x)$ e $R(x)$, di nuovo con coefficienti interi, in modo tale che (i) $P(x)Q(x)$ sia un polinomio in $x^2$; e (ii) $P(x)R(x)$ sia un polinomio in $x^3$.

src_inmo_2008__Q06