Indian National Mathematical Olympiad 2009

Collinearity of interior point and midpoints given BP=2PM

Let $ABC$ be a triangle and let $P$ be an interior point such that $\angle BPC=90^{\circ }$, $\angle BAP=\angle BCP$. Let $M$, $N$ be the mid-points of $AC$, $BC$ respectively. Suppose $BP=2PM$. Prove that $A$, $P$, $N$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Collinearità del punto interno e dei punti medi dati BP=2PM

Che $ABC$ sia un triangolo e che $P$ sia un punto interno tale che $\angle BPC=90^{\circ }$, $\angle BAP=\angle BCP$. $M$ e $N$ siano rispettivamente i punti di mezzo di $AC$ e $BC$. Supponiamo $BP=2PM$. Prove che $A$, $P$, $N$ sono collineari.

src_inmo_2009__Q01

Sequence of 0/1 by parity of divisor count; rational or irrational?

Define a sequence $(a_n{)}_{n\ge 1}$ as follows: $a_n=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if the number of positive divisors of }n\text{ is odd,}\\ 1,& \text{if the number of positive divisors of }n\text{ is even.}\end{array}$ (The positive divisors of $n$ include $1$ as well as $n$.) Let $x=0.a_1{a}_2{a}_3\dots$ be the real number whose decimal expansion contains $a_n$ in the $n$-th place, $n\ge 1$. Determine, with proof, whether $x$ is rational or irrational.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza di 0/1 per parità del numero di divisori; razionale o irrazionale?

Definire una sequenza $(a_n{)}_{n\ge 1}$ come segue: $a_n=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if the number of positive divisors of }n\text{ is odd,}\\ 1,& \text{if the number of positive divisors of }n\text{ is even.}\end{array}$ (I divisori positivi di $n$ includono $1$ e $n$.) $x=0.a_1{a}_2{a}_3\dots$ sia il numero reale la cui espansione decimale contiene $a_n$ nel posto di $n$, $n\ge 1$. Determinare, con la prova, se $x$ è razionale o irrazionale.

src_inmo_2009__Q02

Find all real x satisfying [x^2+2x]=[x]^2+2[x]

Find all real numbers $x$ such that $[x^2+2x]=[x{]}^2+2[x].$ (Here $[x]$ denotes the largest integer not exceeding $x$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le x reali che soddisfano [x^2+2x]=[x]^2+2[x]

Trova tutti i numeri reali $x$ in modo tale che $[x^2+2x]=[x{]}^2+2[x].$ (Qui $[x]$ indica il più grande numero intero non superiore a $x$.)

src_inmo_2009__Q03

3-colouring of plane yields monochromatic isosceles or geometric-progression triangle

All the points in the plane are coloured using three colours. Prove that there exists a triangle with vertices having the same colour such that either it is isosceles or its angles are in geometric progression.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Principio dei cassetti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

3-colorazione del piano produce isosceles monocromatici o triangolo di progressione geometrica

Tutti i punti del piano sono colorati con tre colori. Prova che esiste un triangolo con vertici dello stesso colore in modo tale che sia uguale o gli angoli siano in progressione geometrica.

src_inmo_2009__Q04

In acute triangle, sum of orthocentre distances ≤ 2 × largest altitude

Let $ABC$ be an acute-angled triangle and let $H$ be its ortho-centre. Let $h_{\max }$ denote the largest altitude of the triangle $ABC$. Prove that $AH+BH+CH\le 2h_{\max }.$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nel triangolo acuto, somma delle distanze di centro ortodosso ≤ 2 × massima altitudine

Che $ABC$ sia un triangolo acuto e che $H$ sia il suo centro ortografico. $h_{\max }$ indichi l’altitudine più grande del triangolo $ABC$. Provare che $AH+BH+CH\le 2h_{\max }.$

src_inmo_2009__Q05

For positive reals with a³+b³=c³, prove a²+b²−c²≥6(c−a)(c−b)

Let $a$, $b$, $c$ be positive real numbers such that $a^3+b^3=c^3$. Prove that $a^2+b^2-c^2\ge 6(c-a)(c-b).$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Per i reali positivi con a3+b3=c3, provare a2+b2−c2≥6(c−a)(c−b)

$a$, $b$, $c$ siano numeri reali positivi tali da $a^3+b^3=c^3$. Provare che $a^2+b^2-c^2\ge 6(c-a)(c-b).$

src_inmo_2009__Q06