Indian National Mathematical Olympiad 2010

Circumcircle, angle bisector, intersection points, PQ parallel to BC

Let $ABC$ be a triangle with circum-circle $\Gamma$. Let $M$ be a point in the interior of triangle $ABC$ which is also on the bisector of $\angle A$. Let $AM$, $BM$, $CM$ meet $\Gamma$ in $A_1$, $B_1$, $C_1$ respectively. Suppose $P$ is the point of intersection of $A_1{C}_1$ with $AB$; and $Q$ is the point of intersection of $A_1{B}_1$ with $AC$. Prove that $PQ$ is parallel to $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo, bisettore angolare, punti di intersezione, PQ parallelo a BC

$ABC$ sia un triangolo con circoncircolo $\Gamma$. $M$ sia un punto all’interno del triangolo $ABC$ che si trova anche sul bisettore di $\angle A$. Lasciate che $AM$, $BM$ e $CM$ si incontrino rispettivamente in $A_1$, $B_1$ e $C_1$. Supponiamo che $P$ sia il punto di intersezione di $A_1{C}_1$ con $AB$; e $Q$ sia il punto di intersezione di $A_1{B}_1$ con $AC$. Provare che $PQ$ è parallelo a $BC$.

src_inmo_2010__Q01

Find all n>1 such that n² does not divide (n-2)!

Find all natural numbers $n>1$ such that $n^2$ does not divide $(n-2)!$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova tutte le n>1 in modo che n2 non divida (n-2)!

Trova tutti i numeri naturali $n>1$ in modo tale che $n^2$ divida ** non ** $(n-2)!$.

src_inmo_2010__Q02

Find all non-zero reals x,y,z satisfying a system of equations

Find all non-zero real numbers $x,y,z$ which satisfy the system of equations: $\left(x^2+xy+y^2\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\left(z^2+zx+x^2\right)=xyz,$ $\left(x^4+x^2{y}^2+y^4\right)\left(y^4+y^2{z}^2+z^4\right)\left(z^4+z^2{x}^2+x^4\right)=x^3{y}^3{z}^3.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i reali non zero x,y,z che soddisfano un sistema di equazioni

Trova tutti i numeri reali non zero $x,y,z$ che soddisfano il sistema di equazioni: $\left(x^2+xy+y^2\right)\left(y^2+yz+z^2\right)\left(z^2+zx+x^2\right)=xyz,$ $\left(x^4+x^2{y}^2+y^4\right)\left(y^4+y^2{z}^2+z^4\right)\left(z^4+z^2{x}^2+x^4\right)=x^3{y}^3{z}^3.$

src_inmo_2010__Q03

Count 6-tuples where each element equals an expression in adjacent terms

How many 6-tuples $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ are there such that each of $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ is from the set $\{1,2,3,4\}$ and the six expressions $a_j^2-a_j{a}_{j+1}+a_{j+1}^2$ for $j=1,2,3,4,5,6$ (where $a_7$ is to be taken as $a_1$) are all equal to one another?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare 6 tupli dove ogni elemento è uguale ad un’espressione in termini adiacenti

Quante sei tupli $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ ci sono tali che ognuna delle $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ sia del set $\{1,2,3,4\}$ e le sei espressioni $a_j^2-a_j{a}_{j+1}+a_{j+1}^2$ per $j=1,2,3,4,5,6$ (dove $a_7$ deve essere presa come $a_1$) siano tutte uguali l’una all’altra?

src_inmo_2010__Q04

Acute triangle, orthocentre, circumcentre; Q on HO line, prove AK perpendicular

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with altitude $AK$. Let $H$ be its ortho-centre and $O$ be its circum-centre. Suppose $KOH$ is an acute-angled triangle and $P$ its circum-centre. Let $Q$ be the reflection of $P$ in the line $HO$. Show that $Q$ lies on the line joining the mid-points of $AB$ and $AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, ortocentro, circoncentro; Q sulla linea HO, prova AK perpendicolare

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con altitudine $AK$. Che il $H$ sia il suo centro ortografico e il $O$ il suo centro circostanti. Supponiamo che $KOH$ sia un triangolo a angolo acuto e $P$ il suo centro circostante. Il $Q$ è il riflesso di $P$ nella riga $HO$. Indicare che $Q$ si trova sulla linea che unisce i punti medi di $AB$ e $AC$.

src_inmo_2010__Q05

Sequence defined by recurrence; prove 2^k divides a_n iff 2^k divides a_{2^n}

Define a sequence $⟨a_n{⟩}_{n\ge 0}$ by $a_0=0$, $a_1=1$ and $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$ for $n\ge 2$. \begin{itemize} \item[(a)] For every $m>0$ and $0\le j\le m$, prove that $2a_m$ divides $a_{m+j}+(-1{)}^j{a}_{m-j}$. \item[(b)] Suppose $2^k$ divides $n$ for some natural numbers $n$ and $k$. Prove that $2^k$ divides $a_n$. \end{itemize}

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza definita da recidiva; prova 2^k divide a_n se 2^k divide a_{2

Definire una sequenza $⟨a_n{⟩}_{n\ge 0}$ per $a_0=0$, $a_1=1$ e $a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$ per $n\ge 2$. \begin{itemize} \item[(a)] Per ogni $m>0$ e $0\le j\le m$, dimostrare che $2a_m$ divide $a_{m+j}+(-1{)}^j{a}_{m-j}$. \item[(b) Supponiamo che $2^k$ divida $n$ per alcuni numeri naturali $n$ e $k$. Provare che $2^k$ divide $a_n$. # Finire #

src_inmo_2010__Q06