Indian National Mathematical Olympiad 2011

Points on sides with equal lengths and equal angles imply equilateral triangle

Let $D$, $E$, $F$ be points on the sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively of a triangle $ABC$ such that $BD=CE=AF$ and $\angle BDF=\angle CED=\angle AFE$. Prove that $ABC$ is equilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I punti su lati con lunghezze uguali e angoli uguali implicano un triangolo equilaterale

I punti $D$, $E$, $F$ sono i punti sui lati $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente di un triangolo $ABC$ in modo tale che $BD=CE=AF$ e $\angle BDF=\angle CED=\angle AFE$. Provare che $ABC$ è equilaterale.

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Characterise natural numbers expressible as a+b+c with a|b|c

Call a natural number $n$ faithful if there exist natural numbers $a<b<c$ such that $a$ divides $b$, $b$ divides $c$, and $n=a+b+c$. (i) Show that all but a finite number of natural numbers are faithful. (ii) Find the set of all natural numbers which are not faithful.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Caricare i numeri naturali espressi come a+b+c con un’espressione *

Chiamare un numero naturale $n$ fiduo se esistono numeri naturali $a<b<c$ tali che $a$ divida $b$, $b$ divida $c$ e $n=a+b+c$. (i) Mostrare che tutti, tranne un numero finito di numeri naturali, sono fedeli. (ii) Trova l’insieme di tutti i numeri naturali che sono fedeli ** non **.

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Rational root of P(r)=Q(r)=0 with integer-coefficient polynomials must be integer

Consider two polynomials $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ and $Q(x)=b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0$ with integer coefficients such that $a_n-b_n=b_0-a_0\ne 0$ and $a_0{b}_0-a_n{b}_n\ne 0$. Suppose there exists a rational number $r$ such that $P(r)=Q(r)=0$. Prove that $r$ is not an integer.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La radice razionale di P(r)=Q(r)=0 con polinomi a coefficiente intero deve essere un intero

Considerate due polinomi $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ e $Q(x)=b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0$ con coefficienti interi come $a_n-b_n=b_0-a_0\ne 0$ e $a_0{b}_0-a_n{b}_n\ne 0$. Supponiamo che esista un numero razionale $r$ tale che $P(r)=Q(r)=0$. Provare che $r$ non è un numero intero.

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Five vertices chosen from regular nine-gon contain four forming a trapezium

Suppose five of the nine vertices of a regular nine-sided polygon are arbitrarily chosen. Show that one can select four among these five such that they are the vertices of a trapezium.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Principio dei cassetti, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Quattro vertici scelti tra i nove goni regolari contengono quattro che formano un trapezio

Supponiamo che cinque dei nove vertici di un poligono regolare a nove lati siano scelti arbitrariamente. Mostrate che si possono scegliere quattro tra questi cinque in modo tale che siano i vertici di un trapezio.

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Cyclic quadrilateral with AC·BD=EG·FH implies four lines concurrent

Let $ABCD$ be a quadrilateral inscribed in a circle $\Gamma$. Let $E$, $F$, $G$, $H$ be the midpoints of the arcs $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ of $\Gamma$ respectively. Suppose $AC\cdot BD=EG\cdot FH$. Prove that $AC$, $BD$, $EG$, $FH$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero ciclico con AC·BD=EG·FH implica quattro linee simultanee

$ABCD$ sia un quadrilaterale inciso in un cerchio $\Gamma$. I punti intermedi $E$, $F$, $G$ e $H$ siano rispettivamente i punti intermedi $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ degli archi $\Gamma$. Supponiamo $AC\cdot BD=EG\cdot FH$. Prove che $AC$, $BD$, $EG$, $FH$ sono simultanei.

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Find all f:R→R satisfying a given functional equation

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, where $\mathbb{R}$ denotes the set of all real numbers, such that $f(x+y)f(x-y)=(f(x)+f(y){)}^2-4x^{2}f(y)$ for all $x,y\in \mathbb{R}$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Backward, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le f:R→R che soddisfano una determinata equazione funzionale

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, dove $\mathbb{R}$ indica l’insieme di tutti i numeri reali, in modo tale che $f(x+y)f(x-y)=(f(x)+f(y){)}^2-4x^{2}f(y)$ per tutti $x,y\in \mathbb{R}$.

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