Indian National Mathematical Olympiad 2012

Max area of cyclic quadrilateral with given side and central angle

Let $ABCD$ be a quadrilateral inscribed in a circle. Suppose $AB=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ and $AB$ subtends $135^{\circ }$ at the centre of the circle. Find the maximum possible area of $ABCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area massima del quadrilatero ciclico con angolo lato e centrale dato

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale inciso in un cerchio. Supponiamo che $AB=\sqrt{2+\sqrt{2}}$ e $AB$ subtendano $135^{\circ }$ al centro del cerchio. Trova la superficie massima possibile di $ABCD$.

src_inmo_2012__Q01

Two prime sets with equal span 8; prove 30 divides difference of smallest elements

Let $\{p_1,p_2,p_3,p_4\}$ be a subset of $\{p_1,p_1+2,p_1+4,p_1+6,p_1+8\}$ and $\{q_1,q_2,q_3,q_4\}$ be a subset of $\{q_1,q_1+2,q_1+4,q_1+6,q_1+8\}$ be two sets of prime numbers such that $p_4-p_1=8$ and $q_4-q_1=8$. Suppose $p_1>5$ and $q_1>5$. Prove that $30$ divides $p_1-q_1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Due serie prime con spazio uguale 8; dimostrare 30 divide la differenza degli elementi più piccoli

Che $\{p_1,p_2,p_3,p_4\}$ sia un sottoinsieme di $\{p_1,p_1+2,p_1+4,p_1+6,p_1+8\}$ e $\{q_1,q_2,q_3,q_4\}$ sia un sottoinsieme di $\{q_1,q_1+2,q_1+4,q_1+6,q_1+8\}$ siano due set di numeri primi come $p_4-p_1=8$ e $q_4-q_1=8$. Supponiamo $p_1>5$ e $q_1>5$. Provare che $30$ divide $p_1-q_1$.

src_inmo_2012__Q02

Sequence of functions defined recursively; prove each is polynomial with integer coefficients

Define a sequence $\{f_0(x),f_1(x),f_2(x),\dots \}$ of functions by $f_0(x)=1,f_1(x)=x,(f_n(x){)}^2-1=f_{n+1}(x)f_{n-1}(x),\text{for }n\ge 1.$ Prove that each $f_n(x)$ is a polynomial with integer coefficients.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza di funzioni definite in modo ricorrente; dimostrare che ciascuna è polinomial con coefficienti interi

Definire una sequenza $\{f_0(x),f_1(x),f_2(x),\dots \}$ di funzioni da $f_0(x)=1,f_1(x)=x,(f_n(x){)}^2-1=f_{n+1}(x)f_{n-1}(x),\text{for }n\ge 1.$ Prove che ogni $f_n(x)$ è un polinomio con coefficienti interi.

src_inmo_2012__Q03

Count ‘good’ interior points of triangle yielding 27 equal-area sub-triangles

Let $ABC$ be a triangle. An interior point $P$ of $ABC$ is said to be good if we can find exactly 27 rays emanating from $P$ intersecting the sides of the triangle $ABC$ such that the triangle is divided by these rays into 27 smaller triangles of equal area. Determine the number of good points for a given triangle $ABC$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Conta i punti interni “buoni” del triangolo che producono 27 subtriangoli di superficie uguale

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Si dice che un punto interno $P$ di $ABC$ sia buono se si possono trovare esattamente 27 raggi che emanano da $P$ che intersecano i lati del triangolo $ABC$ in modo tale che il triangolo sia diviso da questi raggi in 27 triangoli più piccoli di superficie uguale. Determinare il numero di punti good per un determinato triangolo $ABC$.

src_inmo_2012__Q04

Triangle with cevians satisfying pedal angle conditions must be equilateral

Let $ABC$ be an acute-angled triangle, and let $D$, $E$, $F$ be points on $BC$, $CA$, $AB$ respectively such that $AD$ is the median, $BE$ is the internal angle bisector and $CF$ is the altitude. Suppose $\angle FDE=\angle C$, $\angle DEF=\angle A$ and $\angle EFD=\angle B$. Prove that $ABC$ is equilateral.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un triangolo con ceviani che soddisfano le condizioni dell’angolo di pedala deve essere equilaterale

Che $ABC$ sia un triangolo a angolo acuto, e che $D$, $E$, $F$ siano punti rispettivamente su $BC$, $CA$, $AB$ in modo tale che $AD$ sia la media, $BE$ sia il bisettore dell’angolo interno e $CF$ sia l’altitudine. Supponiamo $\angle FDE=\angle C$, $\angle DEF=\angle A$ e $\angle EFD=\angle B$. Prove che $ABC$ è equilaterale.

src_inmo_2012__Q05

Functional equation on integers: find all f values and set where f(n)≠0

Let $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ be a function satisfying $f(0)\ne 0$, $f(1)=0$ and \begin{itemize} \item[(i)] $f(xy)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)$; \item[(ii)] $(f(x-y)-f(0))f(x)f(y)=0$, \end{itemize} for all $x,y\in \mathbb{Z}$, simultaneously. \begin{enumerate} \item[(a)] Find the set of all possible values of the function $f$. \item[(b)] If $f(0)\ne 0$ and $f(2)=0$, find the set of all integers $n$ such that $f(n)\ne 0$. \end{enumerate}

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Casework, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale sui numeri interi: trovare tutti i valori di f e impostare dove f(n) ≠0

Che $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ sia una funzione che soddisfi $f(0)\ne 0$, $f(1)=0$ e \begin{itemize} \item[(i)] $f(xy)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)$; \item[(ii) $(f(x-y)-f(0))f(x)f(y)=0$, \end{itemize} per tutti $x,y\in \mathbb{Z}$, contemporaneamente. \begin{enumerate} \item[(a)] Trova l’insieme di tutti i valori possibili della funzione $f$. \item[(b) Se $f(0)\ne 0$ e $f(2)=0$, trovare l’insieme di tutti gli integri $n$ tale da $f(n)\ne 0$. \end{enumere}

src_inmo_2012__Q06