Indian National Mathematical Olympiad 2013

Two circles tangent externally; prove triangle PQR is equilateral

Let ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_2$ be two circles touching each other externally at $R$. Let $l_1$ be a line which is tangent to ${\Gamma }_2$ at $P$ and passing through the center $O_1$ of ${\Gamma }_1$. Similarly, let $l_2$ be a line which is tangent to ${\Gamma }_2$ at $Q$ and passing through the center $O_2$ of ${\Gamma }_2$. Suppose $l_1$ and $l_2$ are not parallel and intersect at $K$. If $KP=KQ$, prove that the triangle $PQR$ is equilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti esternamente; dimostrare che il triangolo PQR è equilaterale

Si deve che ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ siano due cerchi che si toccano a $R$. La linea $l_1$ deve essere tangente a ${\Gamma }_2$ a $P$ e passare attraverso il centro $O_1$ di ${\Gamma }_1$. Allo stesso modo, $l_2$ è una linea tangente a ${\Gamma }_2$ a $Q$ e che attraversa il centro $O_2$ di ${\Gamma }_2$. Supponiamo che $l_1$ e $l_2$ non siano parallele e si incrociano a $K$. Se $KP=KQ$, dimostrare che il triangolo $PQR$ è equilaterale.

src_inmo_2013__Q01

Find all positive integers m, n and primes p ≥ 5 satisfying equation

Find all positive integers $m$, $n$, and primes $p\ge 5$ such that $m(4m^2+12m+3)=3(p^n-1).$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi m, n e numeri primi p ≥ 5 che soddisfano l’equazione

Trova tutti gli integri positivi $m$, $n$ e i numeri primi $p\ge 5$ in modo tale che $m(4m^2+12m+3)=3(p^n-1).$

src_inmo_2013__Q02

Positive integers a,b,c,d; prove polynomial has no integer solution

Let $a,b,c,d$ be positive integers such that $a\ge b\ge c\ge d$. Prove that the equation $x^4-a{x}^3-b{x}^2-cx-d=0$ has no integer solution.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

insieri interi positivi a,b,c,d; dimostrare che il polinomio non ha soluzione di numeri interi

$a,b,c,d$ siano integri positivi come $a\ge b\ge c\ge d$. Prove che l’equazione $x^4-a{x}^3-b{x}^2-cx-d=0$ non ha una soluzione integrale.

src_inmo_2013__Q03

Good nonempty subsets of {1,2,…,n}; prove t_n and n are both odd or both even

Let $n$ be a positive integer. Call a nonempty subset $S$ of $\{1,2,\dots ,n\}$ good if the arithmetic mean of the elements of $S$ is also an integer. Let $t_n$ denote the number of good subsets of $\{1,2,\dots ,n\}$. Prove that $t_n$ and $n$ are both odd or both even.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Invarianti, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Buoni sottoinsiemi non vuoti di {1,2,…,n}; dimostrare che t_n e n sono entrambi pari o entrambi pari

$n$ sia un numero intero positivo. Chiamare valido un sottogruppo non vuoto $S$ di $\{1,2,\dots ,n\}$ se la media aritmetica degli elementi di $S$ è anche un intero. $t_n$ indica il numero di buoni sottoinsiemi di $\{1,2,\dots ,n\}$. Prove che $t_n$ e $n$ sono entrambi pari o pari.

src_inmo_2013__Q04

Acute triangle ABC; circumcenter O, orthocenter H, centroid G; find angle C

In an acute triangle $ABC$, $O$ is the circumcenter, $H$ is the orthocenter and $G$ is the centroid. Let $OD$ be perpendicular to $BC$ and $HE$ be perpendicular to $CA$, with $D$ on $BC$ and $E$ on $CA$. Let $F$ be the midpoint of $AB$. Suppose the areas of triangles $ODC$, $HEA$ and $GFB$ are equal. Find all the possible values of $\hat{C}$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto ABC; circoncentro O, centro-orto H, centroide G; angolo di ricerca C

In un triangolo acuto $ABC$, $O$ è il circoncentro, $H$ è l’ortocentro e $G$ è il centroide. Il $OD$ deve essere perpendicolare a $BC$ e il $HE$ deve essere perpendicolare a $CA$, con $D$ su $BC$ e $E$ su $CA$. Il $F$ deve essere il punto medio di $AB$. Supponiamo che le superfici dei triangoli $ODC$, $HEA$ e $GFB$ siano uguali. Trova tutti i valori possibili di $\hat{C}$.

src_inmo_2013__Q05

Positive reals a,b,c,x,y,z; a+b+c=x+y+z=xyz; prove a=x,b=y,c=z

Let $a,b,c,x,y,z$ be positive real numbers such that $a+b+c=x+y+z=xyz$. Further, suppose that $a\le x<y\le b<c\le z$ and $a<b<c$. Prove that $a=x$, $b=y$ and $c=z$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi a,b,c,x,y,z; a+b+c=x+y+z=xyz; dimostrare a=x,b=y,c=z

$a,b,c,x,y,z$ siano numeri reali positivi come $a+b+c=x+y+z=xyz$. Inoltre, supponiamo che $a\le x<y\le b<c\le z$ e $a<b<c$. Prove che $a=x$, $b=y$ e $c=z$.

src_inmo_2013__Q06