Indian National Mathematical Olympiad 2014

Triangle ABC, D on BC with AB·BD=AC·CD; four points on circle implies AB=AC

In a triangle $ABC$, let $D$ be a point on the segment $BC$ such that $AB\cdot BD=AC\cdot CD$. Suppose that the points $B$, $C$ and the centroids of triangles $ABD$ and $ACD$ lie on a circle. Prove that $AB=AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, D su BC con AB·BD=AC·CD; quattro punti sul cerchio implicano AB=AC

In un triangolo $ABC$, $D$ deve essere un punto sul segmento $BC$ tale da $AB\cdot BD=AC\cdot CD$. Supponiamo che i punti $B$, $C$ e i centriodi dei triangoli $ABD$ e $ACD$ si trovino su un cerchio. Prove che $AB=AC$.

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Sum of floor(n/k) plus floor(sqrt(n)) is always even

Let $n$ be a natural number. Prove that $\lfloor \frac{n}{1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{n}{n}\rfloor +\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ is even. (Here $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer smaller than or equal to $x$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Doppio conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La somma del pavimento(n/k) più pavimento(sqrt(n)) è sempre pari

$n$ sia un numero naturale. Provare che $\lfloor \frac{n}{1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{n}{n}\rfloor +\lfloor \sqrt{n}\rfloor$ è pari. (Qui $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.)

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Natural a,b with ab>2: gcd/lcm quotient at most (a+b)/4; find equality cases

Let $a$, $b$ be natural numbers with $ab>2$. Suppose that the quotient of their greatest common divisor and least common multiple is at most $(a+b)/4$. When is this quotient exactly equal to $(a+b)/4$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

A,b naturali con ab>2: quotiente gcd/lcm al massimo (a+b)/4; trovare casi di uguaglianza

$a$, $b$ siano numeri naturali con $ab>2$. Supponiamo che il quotiente del loro più grande divisore comune e del loro più piccolo multiple comune sia al massimo $(a+b)/4$. Quando questo coefficiente è esattamente uguale a $(a+b)/4$?

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Calvin and Hobbes game on x^2+x+2014; prove Calvin has winning strategy

Written on a blackboard is the polynomial $x^2+x+2014$. Calvin and Hobbes take turns alternately (starting with Calvin) in the following game. During his turn, Calvin should either increase or decrease the coefficient of $x$ by $1$. And during his turn, Hobbes should either increase or decrease the constant coefficient by $1$. Calvin wins if at any point of time the polynomial on the blackboard at that instant has integer roots. Prove that Calvin has a winning strategy.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Invarianti, Backward, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Calvin e Hobbes su x^2+x+2014; dimostra che Calvin ha una strategia vincente

In una lavagna è scritto il polinomio $x^2+x+2014$. Calvin e Hobbes si alternano (a partire da Calvin) nel gioco seguente. Durante il suo turno, Calvin dovrebbe aumentare o diminuire il coefficiente di $x$ di $1$. E durante il suo turno, Hobbes dovrebbe aumentare o diminuire il coefficiente costante di $1$. Calvin vince se in qualsiasi momento il polinomio sulla lavagna in quel momento ha radici interi. Dimostra che Calvin ha una strategia vincente.

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Acute triangle ABC, D on BC; circumcentre of ABC and orthocentre of O1O2D are parallel to BC

In an acute-angled triangle $ABC$, a point $D$ lies on the segment $BC$. Let $O_1$, $O_2$ denote the circumcentres of triangles $ABD$ and $ACD$ respectively. Prove that the line joining the circumcentre of triangle $ABC$ and the orthocentre of triangle $O_1{O}_{2}D$ is parallel to $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto ABC, D su BC; il circoncentro di ABC e l’ortocentro di O1O2D sono paralleli a BC

In un triangolo a angolo acuto $ABC$, un punto $D$ si trova sul segmento $BC$. $O_1$, $O_2$ indicano rispettivamente i circoncenti dei triangoli $ABD$ e $ACD$. Prove che la linea che unisce il circoncentro del triangolo $ABC$ e l’ortocentro del triangolo $O_1{O}_{2}D$ è parallela a $BC$.

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Find all collections F of 2^{n-1} subsets of {1,…,n} closed under symmetric difference bound

Let $n$ be a natural number and $X=\{1,2,\dots ,n\}$. For each subset $A$ of $X$ we define $\Delta A$ to be the set of all those elements of $X$ which belong to exactly one of $A$ and $B$. Let $\mathcal{F}$ be a collection of subsets of $X$ such that for any two distinct elements $A$ and $B$ in $\mathcal{F}$, the set $A△B$ has at most $2^{n-1}$ elements. Find all such collections $\mathcal{F}$ with $2^{n-1}$ elements.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Doppio conteggio, Biiezione Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le collezioni F dei sottogruppi 2^{n-1} di {1,…,n} chiusi sotto il limite di differenza simmetrica

$n$ sia un numero naturale e $X=\{1,2,\dots ,n\}$. Per ogni sottoinsieme $A$ di $X$ definiamo $\Delta A$ come l’insieme di tutti gli elementi di $X$ che appartengono esattamente a uno di $A$ e $B$. Il $\mathcal{F}$ deve essere una raccolta di sottoinsiemi di $X$ in modo tale che per due elementi distinti $A$ e $B$ di $\mathcal{F}$, il set $A△B$ abbia almeno $2^{n-1}$ elementi. Trova tutte queste collezioni $\mathcal{F}$ con elementi $2^{n-1}$.

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