Indian National Mathematical Olympiad 2015

Right-angled triangle, incenters, circumcenter on hypotenuse

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$. Let $BD$ be the altitude from $B$ on to $AC$. Let $P$, $Q$ and $I$ be the incentres of triangles $ABD$, $CBD$ and $ABC$ respectively. Show that the circumcentre of the triangle $PIQ$ lies on the hypotenuse $AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolare, incentri, circoncentro sull’ipotenusa

$ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$. $BD$ sia l’altitudine da $B$ a $AC$. I segmenti $P$, $Q$ e $I$ siano rispettivamente gli incentri dei triangoli $ABD$, $CBD$ e $ABC$. Indicare che il circoncentro del triangolo $PIQ$ si trova sull’ipotenuza $AC$.

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Length of non-periodic part of decimal expansion of 1/n

For any natural number $n>1$, write the infinite decimal expansion of $1/n$ (for example, we write $1/2=0.\overline{49}$ as its infinite decimal expansion, not $0.5$). Determine the length of the non-periodic part of the (infinite) decimal expansion of $1/n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Lunghezza della parte non periodica dell’espansione decimale di 1/n

Per qualsiasi numero naturale $n>1$, scrivete l’espansione decimale infinita di $1/n$ (ad esempio, scriviamo $1/2=0.\overline{49}$ come la sua espansione decimale infinita, non $0.5$). Determinare la lunghezza della parte non periodica dell’espansione decimale (infinita) di $1/n$.

src_inmo_2015__Q02

Find all real functions satisfying f(x^2+yf(x))=xf(x+y)

Find all real functions $f$ from $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfying the relation $f(x^2+yf(x))=xf(x+y).$

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca tutte le funzioni reali che soddisfano f(x^2+yf(x))=xf(x+y) *

Trova tutte le funzioni reali $f$ da $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che soddisfano la relazione $f(x^2+yf(x))=xf(x+y).$

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Basketball passed among four players, count ways ball returns to A after seven passes

There are four basket-ball players $A$, $B$, $C$, $D$. Initially, the ball is with $A$. The ball is always passed from one person to a different person. In how many ways can the ball come back to $A$ after seven passes? (For example $A\to C\to B\to D\to A\to B\to C\to A$ and $A\to D\to A\to D\to A\to B\to C\to A$ are two ways in which the ball can come back to $A$ after seven passes.)

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La palla da basket passata tra quattro giocatori, conta i modi in cui la palla ritorna a A dopo sette passaggi

Ci sono quattro giocatori di basket $A$, $B$, $C$, $D$. Inizialmente, la palla è con $A$. La palla viene sempre passata da una persona a un’altra. In quanti modi la palla può tornare a $A$ dopo sette passaggi? (Ad esempio $A\to C\to B\to D\to A\to B\to C\to A$ e $A\to D\to A\to D\to A\to B\to C\to A$ sono due modi in cui la palla può tornare a $A$ dopo sette passaggi.)

src_inmo_2015__Q04

Convex quadrilateral ABCD has incircle iff 1/PE+1/PG=1/PF+1/PH

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral. Let the diagonals $AC$ and $BD$ intersect in $P$. Let $PE$, $PF$, $PG$ and $PH$ be the altitudes from $P$ on to the sides $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ respectively. Show that $ABCD$ has an incircle if and only if $\frac{1}{PE}+\frac{1}{PG}=\frac{1}{PF}+\frac{1}{PH}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale convex ha incircolo iff 1/PE+1/PG=1/PF+1/PH

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convex. Lasciate che le diagonali $AC$ e $BD$ si incrociano in $P$. Le altitudini $PE$, $PF$, $PG$ e $PH$ siano rispettivamente le altitudini da $P$ ai lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$. Indicare che $ABCD$ ha un incircolo se e solo se $\frac{1}{PE}+\frac{1}{PG}=\frac{1}{PF}+\frac{1}{PH}.$

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From 11 square integers choose 6 with two equal triple sums mod 12

From a set of 11 square integers, show that one can choose 6 numbers $a^2,b^2,c^2,d^2,e^2,f^2$ such that $a^2+b^2+c^2\equiv d^2+e^2+f^2(\mathrm{mod}12).$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Da 11 numeri interi quadrati scegliere 6 con due triplici somme uguali mod 12

Da un insieme di 11 numeri interi quadrati, mostrare che si può scegliere 6 numeri $a^2,b^2,c^2,d^2,e^2,f^2$ in modo che $a^2+b^2+c^2\equiv d^2+e^2+f^2(\mathrm{mod}12).$

src_inmo_2015__Q06