Indian National Mathematical Olympiad 2016

Isosceles triangle orthocenter on incircle, find AB/BC

Let $ABC$ be a triangle in which $AB=AC$. Suppose the orthocentre of the triangle lies on the in-circle. Find the ratio $AB/BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles orthocentro su incircolo, trovare AB/BC

$ABC$ sia un triangolo in cui $AB=AC$. Supponiamo che l’ortocentro del triangolo si trovi sul cerchio interno. Trova il rapporto $AB/BC$.

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Which conditions on positive reals imply a=b=c

For positive real numbers $a,b,c$, which of the following statements necessarily implies $a=b=c$: (I) $a(b^3+c^3)=b(c^3+a^3)$, (II) $a(b^3+c^3)=c(a^3+b^3)$, (III) $a^2(b+c)=b^2(c+a)=c^2(a+b)$? Justify your answer.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Che condizioni sui reali positivi implicano a=b=c

Per i numeri reali positivi $a,b,c$, quale delle seguenti affermazioni implica necessariamente $a=b=c$: (I) $a(b^3+c^3)=b(c^3+a^3)$, (II) $a(b^3+c^3)=c(a^3+b^3)$, (III) $a^2(b+c)=b^2(c+a)=c^2(a+b)$? Giustifica la tua risposta.

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Function T on naturals, show iterations reach 1, Fibonacci recurrence for counts

Let $\mathbb{N}$ denote the set of all natural numbers. Define a function $T:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ by $T(2k)=k$ and $T(2k+1)=2k+2$. We write $T^1(n)=T(T(n))$ and in general $T^k(n)=T(T^{k-1}(n))$ for any $k\ge 1$. (i) Show that for each $n\in \mathbb{N}$, there exists $k$ such that $T^k(n)=1$. (ii) For $k\in \mathbb{N}$, let $c_k$ denote the number of elements in the set $\{n:T^k(n)=1\}$. Prove that $c_{k+2}=c_{k+1}+c_k$ for $k\ge 1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Funzione T su naturali, mostrare iterazioni raggiungono 1, ricorrenza di Fibonacci per i conti

$\mathbb{N}$ indichi l’insieme di tutti i numeri naturali. Definire una funzione $T:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ da $T(2k)=k$ e $T(2k+1)=2k+2$. Scriviamo $T^1(n)=T(T(n))$ e in generale $T^k(n)=T(T^{k-1}(n))$ per qualsiasi $k\ge 1$. (i) Indicare che per ogni $n\in \mathbb{N}$, esiste un $k$ tale che $T^k(n)=1$. (ii) Per $k\in \mathbb{N}$, $c_k$ indichi il numero di elementi dell’insieme $\{n:T^k(n)=1\}$. Provare che $c_{k+2}=c_{k+1}+c_k$ per $k\ge 1$.

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2016 red points on circle; any regular n-gon has an all-blue copy

Suppose 2016 points of the circumference of a circle are coloured red and the remaining points are coloured blue. Given any natural number $n\ge 3$, prove that there is a regular $n$-sided polygon all of whose vertices are blue.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Invarianti, Principio dei cassetti, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*2016 punti rossi sul cerchio; ogni n-gon regolare ha una copia blu *

Supponiamo che i punti 2016 della circonferenza di un cerchio siano di colore rosso e i punti rimanenti di colore blu. Date qualsiasi numero naturale $n\ge 3$, dimostrare che esiste un poligono a lato regolare $n$ i cui vertici sono tutti blu.

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Right triangle, equal inradii of sub-triangles, prove 1/r’=1/r+1/BD

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$. Let $D$ be a point on $AC$ such that the in-radii of the triangles $ABD$ and $CBD$ are equal. If this common value is $r^{\prime }$ and if $r$ is the in-radius of triangle $ABC$, prove that $\frac{1}{r^{\prime }}=\frac{1}{r}+\frac{1}{BD}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo retto, uguale all’inradii dei subtriangoli, prova 1/r’=1/r+1/BD

Il $ABC$ deve essere un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$. Il $D$ deve essere un punto su $AC$ tale da rendere uguali i radii di in dei triangoli $ABD$ e $CBD$. Se questo valore comune è $r^{\prime }$ e se $r$ è il raggio di in del triangolo $ABC$, dimostrare che $\frac{1}{r^{\prime }}=\frac{1}{r}+\frac{1}{BD}.$

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Non-constant AP with certain powers also in AP implies all terms are integers

Consider a non-constant arithmetic progression $a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$. Suppose there exist relatively prime positive integers $p>1$ and $q>1$ such that $a_1^p$, $a_{q+1}^p$ and $a_{q^2+1}^p$ are also the terms of the same arithmetic progression. Prove that the terms of the arithmetic progression are all integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

AP non costante con determinate potenze anche in AP implica che tutti i termini sono interi

Considera una progressione aritmetica non costante $a_1,a_2,\dots ,a_n,\dots$. Supponiamo che esistano numeri interi positivi relativamente primi $p>1$ e $q>1$ in modo tale che $a_1^p$, $a_{q+1}^p$ e $a_{q^2+1}^p$ siano anche i termini della stessa progressione aritmetica. Prova che i termini della progressione aritmetica sono tutti interi.

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