Indian National Mathematical Olympiad 2017

Square folded; inradius of GCA equals sum of inradii of GDF and A’BE

In the given figure, $ABCD$ is a square sheet of paper. It is folded along $EF$ such that $A$ goes to a point $A^{\prime }$ different from $B$ and $C$, on the side $BC$ and $D$ goes to $D^{\prime }$. The line $A^{\prime }{D}^{\prime }$ cuts $CD$ in $G$. Show that the inradius of the triangle $GC{A}^{\prime }$ is the sum of the inradii of the triangles $G{D}^{\prime }F$ and $A^{\prime }BE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Piegato quadrato; il raggio di GCA è uguale alla somma dei raggi di GDF e A’BE

Nella figura data, $ABCD$ è un foglio quadrato di carta. Si piega lungo $EF$ in modo tale che $A$ vada a un punto $A^{\prime }$ diverso da $B$ e $C$, sul lato $BC$ e $D$ va a $D^{\prime }$. La linea $A^{\prime }{D}^{\prime }$ taglia $CD$ in $G$. Indicare che l’inradius del triangolo $GC{A}^{\prime }$ è la somma dell’inradius dei triangoli $G{D}^{\prime }F$ e $A^{\prime }BE$.

src_inmo_2017__Q01

Find integer roots of cubic with parameter n

Suppose $n\ge 0$ is an integer and all the roots of $x^3+ax+4-(2\times 2016^n)=0$ are integers. Find all possible values of $a$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca le radici di numeri interi di cubo con parametro n

Supponiamo che $n\ge 0$ sia un numero intero e tutte le radici di $x^3+ax+4-(2\times 2016^n)=0$ siano numeri interi. Trova tutti i valori possibili di $a$.

src_inmo_2017__Q02

Find triples (x,a,b) satisfying fractional-part equation

Find the number of triples $(x,a,b)$ where $x$ is a real number and $a,b$ belong to the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ such that $x^2-a\{x\}+b=0,$ where $\{x\}$ denotes the fractional part of the real number $x$. (For example $\{1.1\}=0.1=\{-0.9\}$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca triplici (x,a,b) che soddisfino l’equazione frazionaria

Trova il numero di triples $(x,a,b)$ dove $x$ è un numero reale e $a,b$ appartiene all’insieme $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ in modo tale che $x^2-a\{x\}+b=0,$ dove $\{x\}$ denota la parte frazionaria del numero reale $x$. (ad esempio $\{1.1\}=0.1=\{-0.9\}$.)

src_inmo_2017__Q03

Convex pentagon with equal angles and consecutive integer sides; find AB+BC+CD

Let $ABCDE$ be a convex pentagon in which $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=120^{\circ }$ and side lengths are five consecutive integers in some order. Find all possible values of $AB+BC+CD$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Pentagono converso con angoli uguali e lati interi consecutivi; trovare AB+BC+CD

Let $ABCDE$ essere un pentagono convex in cui $\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=120^{\circ }$ e lunghezze laterali sono cinque numeri interi consecutivi in qualche ordine. Trova tutti i valori possibili di $AB+BC+CD$.

src_inmo_2017__Q04

Altitude foot perpendicular to line joining incenters of sub-triangles

Let $ABC$ be a triangle with $\angle A=90^{\circ }$ and $AB<AC$. Let $AD$ be the altitude from $A$ to $BC$. Let $P$, $Q$ and $I$ denote respectively the incenters of triangles $ABD$, $ACD$ and $ABC$. Prove that $AI$ is perpendicular to $PQ$ and $AI=PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Altitudine perpendicolare ai centri di collegamento delle linee dei subtriangoli

Il $ABC$ deve essere un triangolo con $\angle A=90^{\circ }$ e $AB<AC$. L’altitudine di $AD$ deve essere da $A$ a $BC$. $P$, $Q$ e $I$ indicano rispettivamente gli incentri dei triangoli $ABD$, $ACD$ e $ABC$. Prova che $AI$ è perpendicolare a $PQ$ e $AI=PQ$.

src_inmo_2017__Q05

Integer n making x an integer with sides forming triangle of integer inradius

Let $n\ge 1$ be an integer and consider the sum $x={\sum }_{k\ge 0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}\right)2^{n-2k}\cdot 3^k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)2^n+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)2^{n-2}\cdot 3+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)2^{n-4}\cdot 3^2+\cdots$ Show that $2x-1$, $2x$, $2x+1$ form the sides of a triangle whose area and inradius are also integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Combinatoria, Geometria piana Metodo: Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Integro n che rende x un intero con lati che formano un triangolo di raggio intero

Che $n\ge 1$ sia un numero intero e consideri la somma $x={\sum }_{k\ge 0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}\right)2^{n-2k}\cdot 3^k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)2^n+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)2^{n-2}\cdot 3+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)2^{n-4}\cdot 3^2+\cdots$ Mostri che $2x-1$, $2x$, $2x+1$ formano i lati di un triangolo la cui area e il suo raggio sono anche numeri interi.

src_inmo_2017__Q06