Indian National Mathematical Olympiad 2020

Circumcentre of triangles ACD and XAY lies on perp bisector of O1O2

Let ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_2$ be two circles of unequal radii, with centres $O_1$ and $O_2$ respectively, in the plane intersecting in two distinct points $A$ and $B$. Assume that the centre of each of the circles ${\Gamma }_1$ and ${\Gamma }_2$ is outside the other. The tangent to ${\Gamma }_1$ at $B$ intersects ${\Gamma }_2$ again in $C$, different from $B$; the tangent to ${\Gamma }_2$ at $B$ intersects ${\Gamma }_1$ again in $D$, different from $B$. The bisectors of $\angle CAB$ and $\angle DAB$ meet ${\Gamma }_2$ and ${\Gamma }_1$ again in $X$ and $Y$, respectively, different from $A$. Let $P$ and $Q$ be the circumcentres of triangles $ACD$ and $XAY$, respectively. Prove that $PQ$ is the perpendicular bisector of the line segment $O_1{O}_2$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il circolo dei triangoli ACD e XAY si trova sul bisettore perp di O1O2

I valori ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ siano due cerchi di raggio diseguale, con i centri $O_1$ e $O_2$ rispettivamente, nel piano che si intersecano in due punti distinti $A$ e $B$. Supponiamo che il centro di ciascuno dei cerchi ${\Gamma }_1$ e ${\Gamma }_2$ sia all’esterno dell’altro. La tangente di ${\Gamma }_1$ a $B$ interseca di nuovo ${\Gamma }_2$ in $C$, diversa da $B$; la tangente di ${\Gamma }_2$ a $B$ interseca di nuovo ${\Gamma }_1$ in $D$, diversa da $B$. I bisettori di $\angle CAB$ e $\angle DAB$ incontrano ${\Gamma }_2$ e ${\Gamma }_1$ di nuovo rispettivamente in $X$ e $Y$, diversi da $A$. $P$ e $Q$ siano rispettivamente i circoncenti dei triangoli $ACD$ e $XAY$. Prova che $PQ$ è il bisettore perpendicolare del segmento di linea $O_1{O}_2$.

src_inmo_2020__Q01

Polynomial satisfying symmetry condition expressed in powers of (1-x^2)

Suppose $P(x)$ is a polynomial with real coefficients satisfying the condition $P(\cos \theta +\sin \theta )=P(\cos \theta -\sin \theta )$ for every real $\theta$. Prove that $P(x)$ can be expressed in the form $P(x)=a_0+a_1(1-x^2{)}^2+a_2(1-x^2{)}^4+\cdots +a_n(1-x^2{)}^{2n},$ for some $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ and nonnegative integer $n$.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Condizione di simmetria soddisfacente polinomial espressa in potenze di (1-x^2) *

Supponiamo che $P(x)$ sia un polinomio con coefficienti reali che soddisfano la condizione $P(\cos \theta +\sin \theta )=P(\cos \theta -\sin \theta )$ per ogni $\theta$ reale. Prova che $P(x)$ può essere espresso nella forma $P(x)=a_0+a_1(1-x^2{)}^2+a_2(1-x^2{)}^4+\cdots +a_n(1-x^2{)}^{2n},$ per alcuni $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ e per un intero non negativo $n$.

src_inmo_2020__Q02

Smallest subset S of digits so every positive integer equals p+q with digits in S

Let $X=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ be the set of decimal digits. Let $S\subseteq X$ be such that any positive integer $n$ can be written as $p+q$ where the non-negative integers $p,q$ have all their digits in $S$. Find the smallest possible number of elements in $S$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il più piccolo sottoinsieme S di cifre in modo che ogni intero positivo sia uguale a p + q con cifre in S

$X=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ sia l’insieme di cifre decimali. Che $S\subseteq X$ sia tale che qualsiasi numero intero positivo $n$ possa essere scritto come $p+q$ dove i numeri interi non negativi $p,q$ hanno tutte le loro cifre in $S$. Trova il numero minimo possibile di elementi in $S$.

src_inmo_2020__Q03

Prove inequality for n real numbers with sum 2n

Let $n\ge 3$ be an integer and let $1<a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$ be $n$ real numbers such that $a_1+a_2+\cdots +a_n=2n$. Prove that $a_1{a}_2\cdots a_{n-1}+a_1{a}_2\cdots a_{n-2}+2+a_1{a}_2+a_1{a}_2\cdots a_n\ge 2\cdot a_1{a}_2\cdots a_n.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza di n numeri reali con la somma 2n

Let $n\ge 3$ essere un numero intero e let $1<a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$ essere $n$ numeri reali come $a_1+a_2+\cdots +a_n=2n$. Provare che $a_1{a}_2\cdots a_{n-1}+a_1{a}_2\cdots a_{n-2}+2+a_1{a}_2+a_1{a}_2\cdots a_n\ge 2\cdot a_1{a}_2\cdots a_n.$

src_inmo_2020__Q04

Characterise which regular polygon vertex counts are frameable on parallel lines

Infinitely many equidistant parallel lines are drawn in the plane. A positive integer $n\ge 3$ is called \emph{frameable} if it is possible to draw a regular polygon with $n$ sides all of whose vertices lie on these lines and no line contains more than one vertex of the polygon.

(a) Show that $3,4,6$ are frameable.

(b) Show that every $n\ge 7$ is not frameable.

(c) Determine whether $5$ is frameable.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Caratterizzare quali numeri regolari di vertici poligonistici possono essere incorniciati su linee parallele

Infinitamente molte linee parallele equidistanti sono tracciate nel piano. Un intero positivo $n\ge 3$ è chiamato \emph{frameable} se è possibile disegnare un poligono regolare con i lati $n$ i cui vertici si trovano tutte su queste linee e nessuna linea contiene più di un vertice del poligono.

(a) dimostrare che $3,4,6$ sono incornicibili.

b) dimostrare che ogni $n\ge 7$ non è incornicibile.

c) Determinare se $5$ è incornicibile.

src_inmo_2020__Q05

5x5 board cannot be covered by 16 trominoes with each square covered once or twice

A \emph{stromino} is a $3\times 1$ rectangle. Show that a $5\times 5$ board divided into twenty-five $1\times 1$ squares cannot be covered by $16$ strominos such that each stromino covers exactly three squares of the board and every unit square is covered by either one or two strominos. [A stromino can be placed either horizontally or vertically on the board.]

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

5x5 tabella non può essere coperta da 16 trombini con ogni quadrato coperto una o due volte

Un \emph{stromino} è un rettangolo $3\times 1$. Mostrare che una tabella $5\times 5$ divisa in venticinque quadrati $1\times 1$ non può essere coperta da stromino $16$ in modo tale che ogni stromino copra esattamente tre quadrati della tabella e ogni quadrato unitario sia coperto da uno o due stromino. [Un stromino può essere posizionato orizzontalmente o verticalmente sulla lavagna.]

src_inmo_2020__Q06