Indian National Mathematical Olympiad 2024

Circumcircle point E gives parallel line intersecting circumcircle at F,G

In triangle $ABC$ with $CA=CB$, point $E$ lies on the circumcircle of $ABC$ such that $\angle ECB=90^{\circ }$. The line through $E$ parallel to $CB$ intersects $CA$ in $F$ and $AB$ in $G$. Prove that the centre of the circumcircle of triangle $EGB$ lies on the circumcircle of triangle $ECF$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il punto del circolo E dà una linea parallela che interseca il circolo a F,G

Nel triangolo $ABC$ con $CA=CB$, il punto $E$ si trova sul circoncircolo di $ABC$ in modo tale che $\angle ECB=90^{\circ }$. La linea attraverso $E$ parallela a $CB$ si interseca tra $CA$ in $F$ e $AB$ in $G$. Prove che il centro del circoncircolo del triangolo $EGB$ si trova sul circoncircolo del triangolo $ECF$.

src_inmo_2024__Q01

2024x2024 board colouring game; find maximum squares Mohit can colour red

All the squares of a $2024\times 2024$ board are coloured white. In one move, Mohit can select one row or column whose every square is white, choose exactly 1000 squares in this row or column, and colour all of them red. Find the maximum number of squares that Mohit can colour red in a finite number of moves.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

2024x2024 gioco di colorare la tavola; trovare i quadrati massimi Mohit può colorare rosso

Tutti i quadrati di una scheda $2024\times 2024$ sono di colore bianco. In una mossa, Mohit può selezionare una riga o una colonna di cui ogni quadrato è bianco, scegliere esattamente 1000 quadrati in questa riga o colonna, e colorarli tutti rossi. Trova il numero massimo di quadrati che Mohit può colorare rosso in un numero finito di mosse.

src_inmo_2024__Q02

Odd prime p divides sum of powers of integers a,b,c

Let $p$ be an odd prime number and $a,b,c$ be integers so that the integers $a^{2021}+b^{2023},a^{2023}+c^{2021},a^{2025}+c^{2025}$ are all divisible by $p$. Prove that $p$ divides each of $a,b,c$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Odd primo p divide la somma delle potenze dei numeri interi a, b, c

Che $p$ sia un numero primo impar e $a,b,c$ un numero intero in modo che tutti i numeri interi $a^{2021}+b^{2023},a^{2023}+c^{2021},a^{2025}+c^{2025}$ siano divisibili da $p$. Provare che $p$ divide ciascuno di $a,b,c$.

src_inmo_2024__Q03

Cardinal function f on positive integers; find all values of f(2024)

A finite set $S$ of positive integers is called cardinal if $S$ contains the integer $|S|$; where $|S|$ denotes the number of distinct elements in $S$. Let $f$ be a function from the set of positive integers to itself, such that for any cardinal set $S$, the set $f(S)$ is also cardinal. Here $f(S)$ denotes the set of all integers that can be expressed as $f(a)$ for some $a$ in $S$. Find all possible values of $f(2024)$.

\textit{Note.} As an example, $\{1,3,5\}$ is a cardinal set because it has 3 distinct elements, and the set contains 3.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Funzione cardinale f su numeri interi positivi; trovare tutti i valori di f(2024) *

Un insieme finito $S$ di numeri interi positivi è chiamato cardinale se $S$ contiene l’intero $|S|$; dove $|S|$ indica il numero di elementi distinti in $S$. Lasciate che $f$ sia una funzione dall’insieme di integri positivi a se stesso, in modo tale che per qualsiasi insieme cardinale $S$, il insieme $f(S)$ sia anche cardinale. Qui $f(S)$ indica l’insieme di tutti gli enti che possono essere espressi come $f(a)$ per alcuni $a$ in $S$. Trova tutti i possibili valori di $f(2024)$.

\textit{Nota.} Ad esempio, $\{1,3,5\}$ è un insieme cardinale perché ha 3 elementi distinti, e l’insieme contiene 3.

src_inmo_2024__Q04

Rotation composition around cyclic quadrilateral vertices; circumcircle radius bound

Let points $A_1,A_2,A_3,A_4$ lie on the circle $\Gamma$ in counter-clockwise order, and let $P$ be a point in the same plane. For $i\in \{1,2,3\}$, let ${\tau }_i$ denote the counter-clockwise rotation of the plane centered at $A_i$, where the angle of the rotation is equal to the angle at vertex $A_i$ in $△A_1{A}_2{A}_3{A}_4$. Further, define $P_i$ to be the point ${\tau }_{i+2}({\tau }_{i+1}({\tau }_i(P)))$, where indices are taken modulo 3 (i.e., ${\tau }_4={\tau }_1,{\tau }_5={\tau }_2$).

Prove that the radius of the circumcircle of $△P_1{P}_2{P}_3$ is at most the radius of $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Compositazione della rotazione attorno a vertici quadrilaterali ciclici; raggio di circolo circolare legato

I punti $A_1,A_2,A_3,A_4$ si trovano sul cerchio $\Gamma$ in ordine contraria al senso orario e $P$ sono un punto nello stesso piano. Per $i\in \{1,2,3\}$, ${\tau }_i$ indichi la rotazione contro il senso orario del piano incentrato su $A_i$, dove l’angolo di rotazione è uguale all’angolo al vertice $A_i$ in $△A_1{A}_2{A}_3{A}_4$. Inoltre, definire $P_i$ come il punto ${\tau }_{i+2}({\tau }_{i+1}({\tau }_i(P)))$, dove gli indici sono presi modulo 3 (cioè ${\tau }_4={\tau }_1,{\tau }_5={\tau }_2$).

Prove che il raggio del circoncircolo di $△P_1{P}_2{P}_3$ è al massimo quello di $\Gamma$.

src_inmo_2024__Q05

Sequences A_n and B_n of nested radicals; find positive integers with equal floor values

For each positive integer $n\ge 3$, define $A_n$ and $B_n$ as $A_n=\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2}+\cdots +\sqrt{n^2+2n-1},$ $B_n=\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+4}+\cdots +\sqrt{n^2+2n}.$ Determine all positive integers $n\ge 3$ for which $\lfloor A_n\rfloor =\lfloor B_n\rfloor$.

\textit{Note.} For any real number $x$, $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer $N$ such that $N\le x$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenze A_n e B_n di radicali nidificati; trovare interi positivi con valori di pavimento uguali

Per ogni numero intero positivo $n\ge 3$, definire $A_n$ e $B_n$ come $A_n=\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+2}+\cdots +\sqrt{n^2+2n-1},$ $B_n=\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+4}+\cdots +\sqrt{n^2+2n}.$ Determinare tutti i numeri interi positivi $n\ge 3$ per i quali $\lfloor A_n\rfloor =\lfloor B_n\rfloor$.

Per qualsiasi numero reale $x$, $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande $N$ tale che $N\le x$.

src_inmo_2024__Q06