Indian National Mathematical Olympiad 2025

Find all positive integers n such that u_n/n is an integer

Consider the sequence defined by $u_1=2$, $u_2=3$, and $u_{2k+1}=2+u_k+u_{k+1}\text{and}{u}_{2k+2}=2+2u_k$ for all integers $k\ge 1$. Determine all positive integers $n$ such that $\frac{u_n}{n}$ is an integer.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n in modo tale che u_n/n sia un intero

Si consideri la sequenza definita da $u_1=2$, $u_2=3$ e $u_{2k+1}=2+u_k+u_{k+1}\text{and}{u}_{2k+2}=2+2u_k$ per tutti gli integri $k\ge 1$. Determinare tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $\frac{u_n}{n}$ sia un intero.

src_inmo_2025__Q01

Alice erases numbers on a board to leave one number remaining

Let $n\ge 2$ be a positive integer. The integers $1,2,\dots ,n$ are written on the board. In a move, Alice can pick two integers written on the board $a\ne b$ such that $a+b$ is an even number, erase both $a$ and $b$ from the board and write $\frac{a+b}{2}$ on the board instead. Find all $n$ for which Alice can make a sequence of moves so that she ends up with only one number remaining on the board.

Note. When $n=3$, Alice changes $\{1,2,3\}$ to $\{2,3\}$ and after that Alice cannot make any further moves.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Alice cancella i numeri su una lavagna per lasciare un numero rimasto

$n\ge 2$ sia un numero intero positivo. I numeri interi $1,2,\dots ,n$ sono scritti sulla lavagna. In una mossa, Alice può scegliere due numeri interi scritti sulla lavagna $a\ne b$ in modo tale che $a+b$ sia un numero pari, cancellare sia $a$ che $b$ dalla lavagna e scrivere $\frac{a+b}{2}$ sulla lavagna. Trova tutte le $n$ per cui Alice può fare una sequenza di mosse in modo che finisca con un solo numero rimasto sulla tavola.

Nota. Quando $n=3$, Alice cambia $\{1,2,3\}$ a $\{2,3\}$ e dopo questo Alice non può fare ulteriori mosse.

src_inmo_2025__Q02

Euclid uses a splitter to draw the circumcircle of triangle ABC

Alice has a tool called splitter which can only do the following two types of operations:

• Given three non-collinear marked points $X,Y,Z$, it can draw the line which forms the interior angle bisector of $\angle XYZ$.
• It can mark the intersection point of two previously drawn non-parallel lines.

Suppose Euclid is only given three non-collinear marked points $A,B,C$ on the plane. Prove that Euclid can use the splitter several times to draw the centre of the circle passing through $A$, $B$, and $C$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Euclide utilizza uno splitter per disegnare il circoncircolo del triangolo ABC

Alice dispone di uno strumento chiamato splitter che può eseguire solo i seguenti due tipi di operazioni: - Data la presenza di tre punti non collineari $X,Y,Z$, può disegnare la linea che forma il bisettore angolare interno di $\angle XYZ$. - Può segnalare il punto di intersezione di due linee non parallele tracciate in precedenza.

Supponiamo che Euclide abbia solo tre punti non collineari $A,B,C$ sul piano. Prova che Euclide può utilizzare la divisione più volte per disegnare il centro del cerchio che attraversa $A$, $B$ e $C$.

src_inmo_2025__Q03

Find the largest real t_n such that a symmetric max inequality holds

Let $n\ge 3$ be a positive integer. Find the largest real number $t_n$, as a function of $n$, such that the inequality $\max (|a_1+a_2|,|a_2+a_3|,\dots ,|a_{n-1}+a_n|,|a_n+a_1|)\ge t_n\cdot \max (|a_1|,|a_2|,\dots ,|a_n|)$ holds for all real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_n$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca il più grande t_n reale tale che una disuguaglianza massima simmetrica tenga *

$n\ge 3$ sia un numero intero positivo. Trovare il più grande numero reale $t_n$, come funzione di $n$, in modo tale che l’ineguaglianza $\max (|a_1+a_2|,|a_2+a_3|,\dots ,|a_{n-1}+a_n|,|a_n+a_1|)\ge t_n\cdot \max (|a_1|,|a_2|,\dots ,|a_n|)$ sia valida per tutti i numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_n$.

src_inmo_2025__Q04

Greedy Griphook collects coins from a 2000-gon

Greedy Griphook has a regular $2000$-gon, whose every vertex has a single coin. In a move, he chooses a vertex, removes one coin each from the two adjacent vertices, and adds one coin to the chosen vertex, keeping the remaining coin for himself. He can only make such a move if both adjacent vertices have at least one coin. Griphook stops only when he cannot make any more moves. What is the maximum and minimum number of coins that Griphook could have collected?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Greedy Griphook raccoglie monete da un 2000gon

Greedy Griphook ha un normale $2000$-gon, il cui vertice ha una singola moneta. In una mossa, sceglie un vertice, rimuove una moneta ciascuno dai due vertici adiacenti e aggiunge una moneta al vertice scelto, conservando la moneta rimanente per se stesso. Può fare tale mossa solo se entrambi i vertici adiacenti hanno almeno una moneta. Griphook si ferma solo quando non riesce a fare più movimenti. Qual e’ il numero massimo e minimo di monete che Griphook avrebbe potuto raccogliere?

src_inmo_2025__Q05

Prove infinitely many payable numbers exist for notes with b-1 copies

Let $b\ge 2$ be a positive integer. Anu has an infinite collection of notes with exactly $b-1$ copies of a note with value $b^k$ for every integer $k\ge 1$. A positive integer $n$ is called payable if Anu can pay exactly $n^2+1$ rupees by using some collection of her notes. Prove that if there is a payable number, then there are infinitely many payable numbers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che esistono infiniti numeri da pagare per le banconote con copie b-1

$b\ge 2$ sia un numero intero positivo. Anu ha una raccolta infinita di note con esattamente $b-1$ copie di una nota con valore $b^k$ per ogni numero intero $k\ge 1$. Un intero positivo $n$ è chiamato pagabile se Anu può pagare esattamente $n^2+1$ rupie utilizzando una raccolta delle sue banconote. Prova che se c’è un numero da pagare, allora ci sono infiniti numeri da pagare.

src_inmo_2025__Q06