Indian National Mathematical Olympiad 2026

Determine which positive integers m occur as a perfect-square term m^2 in a floor-of-square-root recurrence sequence.

Let $x_1,x_2,x_3,\dots$ be a sequence of positive integers defined as follows: $x_1=1$ and for each $n\ge 1$ we have $x_{n+1}=x_n+\lfloor \sqrt{x_n}\rfloor .$ Determine all positive integers $m$ for which $x_n=m^2$ for some $n\ge 1$. (Here $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less or equal to $x$ for every real number $x$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine quali integri positivi m si verificano come termine m^2 a quadrato perfetto in una sequenza di ricorrenza a radice quadrata del pavimento.

Che $x_1,x_2,x_3,\dots$ sia una sequenza di integri positivi definita come segue: $x_1=1$ e per ogni $n\ge 1$ abbiamo $x_{n+1}=x_n+\lfloor \sqrt{x_n}\rfloor .$ Determinare tutti gli integri positivi $m$ per i quali $x_n=m^2$ per alcuni $n\ge 1$. (Qui $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$ per ogni numero reale $x$.)

src_inmo_2026__Q01

For f:N->N where f(k) counts the maximum multiplicity in f(1),…,f(k-1) for k>2026, prove f(n)=f(n+1) for infinitely many n.

Let $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ be a function satisfying the following condition: for each $k>2026$, the number $f(k)$ equals the maximum number of times a number appears in the list $f(1),f(2),\dots ,f(k-1)$. Prove that $f(n)=f(n+1)$ for infinitely many $n\in \mathbb{N}$. (Here $\mathbb{N}$ denotes the set $\{1,2,3,\dots \}$ of positive integers.)

Topic: Equazioni funzionali, Combinatoria Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Per f:N->N dove f(k) conti la molteplicità massima in f(1),…,f(k-1) per k>2026, prova f(n)=f(n+1) per infinite n.

Che $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ sia una funzione che soddisfi la seguente condizione: per ogni $k>2026$, il numero $f(k)$ è uguale al numero massimo di volte in cui un numero appare nell’elenco $f(1),f(2),\dots ,f(k-1)$. Prova che $f(n)=f(n+1)$ per infinite $n\in \mathbb{N}$. (Qui $\mathbb{N}$ indica l’insieme $\{1,2,3,\dots \}$ di numeri interi positivi.)

src_inmo_2026__Q02

In an acute scalene triangle, with P,Q on the sides satisfying BP=BN, CQ=CN and K on line AN with MK=MN, prove angle PKQ is a right angle.

Let $ABC$ be an acute-angled scalene triangle with circumcircle $\Gamma$. Let $M$ be the midpoint of $BC$ and $N$ be the midpoint of the minor arc $BC$ of $\Gamma$. Points $P$ and $Q$ lie on segments $AB$ and $AC$ respectively such that $BP=BN$ and $CQ=CN$. Point $K\ne N$ lies on line $AN$ with $MK=MN$. Prove that $\angle PKQ=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un triangolo di scalene acuto, con P,Q sui lati che soddisfano BP=BN, CQ=CN e K sulla linea AN con MK=MN, prova che l’angolo PKQ è un angolo retto.

Il $ABC$ deve essere un triangolo scaleno a angolo acuto con un circoncircolo $\Gamma$. Il $M$ deve essere il punto medio del $BC$ e il $N$ deve essere il punto medio dell’arco minore $BC$ del $\Gamma$. I punti $P$ e $Q$ si trovano rispettivamente sui segmenti $AB$ e $AC$ in modo tale che $BP=BN$ e $CQ=CN$. Il punto $K\ne N$ si trova sulla linea $AN$ con $MK=MN$. Prova che $\angle PKQ=90^{\circ }$.

src_inmo_2026__Q03

Determine all f:N0->N0 with f(0)=0 such that f(n)+m and f(n)+f(m) are companions (share exactly the same prime divisors) for all m,n.

Two integers $a$ and $b$ are called companions if every prime number $p$ either divides both or none of $a,b$. Determine all functions $f:{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ such that $f(0)=0$ and the numbers $f(n)+m$ and $f(n)+f(m)$ are companions for all $m,n\in {\mathbb{N}}_0$. (Here ${\mathbb{N}}_0$ denotes the set of all non-negative integers.)

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determina tutte le f:N0->N0 con f(0)=0 in modo tale che f(n) + m e f(n) + f(m) siano compagni (dividono esattamente gli stessi divisori primi) per tutte le m,n.

Due integri $a$ e $b$ sono chiamati compagni se ogni numero primo $p$ divide entrambi o nessuno di $a,b$. Determinare tutte le funzioni $f:{\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ in modo tale che $f(0)=0$ e i numeri $f(n)+m$ e $f(n)+f(m)$ siano compagni di tutte le $m,n\in {\mathbb{N}}_0$. (Qui ${\mathbb{N}}_0$ indica l’insieme di tutti gli integri non negativi.)

src_inmo_2026__Q04

For an interior point P of an acute triangle T with successive reflections in its sides, prove the six triple-reflection images are concyclic iff P is the orthocentre.

Three lines $t_1,t_2,t_3$ form an acute angled triangle $\mathcal{T}$ in the plane. Point $P$ lies in the interior of $\mathcal{T}$. Let $r_i$ denote the transformation of the plane such that the image $r_i(X)$ of any point $X$ in the plane is the reflection of $X$ in $t_i$, for each $i\in \{1,2,3\}$. Denote by $P_{ijk}$ the point $r_k(r_j(r_i(P)))$ for every permutation $(i,j,k)$ of $(1,2,3)$. Prove that $P_{123},P_{132},P_{213},P_{231},P_{312},P_{321}$ are concyclic if and only if $P$ coincides with the orthocentre of $\mathcal{T}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Per un punto interno P di un triangolo acuto T con riflessi successivi nei suoi lati, dimostrare che le sei immagini a triplice riflessione sono concicliche se P è l’ortocentro.

Tre linee $t_1,t_2,t_3$ formano un triangolo acuto angolato $\mathcal{T}$ nel piano. Il punto $P$ si trova all’interno di $\mathcal{T}$. Il $r_i$ indica la trasformazione del piano in modo tale che l’immagine $r_i(X)$ di qualsiasi punto $X$ nel piano sia il riflesso di $X$ in $t_i$, per ogni $i\in \{1,2,3\}$. Indicare con $P_{ijk}$ il punto $r_k(r_j(r_i(P)))$ per ogni permutazione $(i,j,k)$ di $(1,2,3)$. Prova che $P_{123},P_{132},P_{213},P_{231},P_{312},P_{321}$ sono conciclici se e solo se $P$ coincide con l’ortocentro di $\mathcal{T}$.

src_inmo_2026__Q05

Two decks of 40 cards play repeated deterministic duels with win/draw/no-interaction rules; prove the maximum time a terminating game can take is 356 hours.

Two decks $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ of 40 cards each are placed on a table at noon. Every minute thereafter, we pick the top cards $a\in \mathcal{A}$ and $b\in \mathcal{B}$, each a card $b$, the outcome remains the same and is independent of all other duels. A duel has three possible outcomes: \begin{itemize} \item If a card wins, it is placed back at the top of its deck and the losing card is placed at the bottom of the other deck. \item If $a$ and $b$ are evenly matched, they are both removed from their respective decks. \item If $a$ and $b$ do not interact with each other, then both are placed at the bottom of their respective decks. \end{itemize} The process ends when both decks are empty. A process is called a game if it ends. Prove that the maximum time a game can take equals 356 hours.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Due mazzi di 40 carte giocano duelli deterministici ripetuti con regole di vincita/riguardo/senza interazione; dimostrare che il tempo massimo che può richiedere un gioco di fine è di 356 ore.

Due mazzi $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ di 40 schede sono posizionati su un tavolo al mezzogiorno. Ogni minuto dopo, scegliamo le prime carte $a\in \mathcal{A}$ e $b\in \mathcal{B}$, ciascuna una carta $b$, il risultato rimane lo stesso ed è indipendente da tutti gli altri duelli. Un duello ha tre possibili risultati: \begin{itemize} \item Se una carta vince, viene riposta in cima al suo mazzo e la carta perdente viene posta in fondo all’altro mazzo. \item Se $a$ e $b$ sono uguali, entrambi vengono rimossi dai rispettivi ponti. \item Se $a$ e $b$ non interagiscono tra loro, entrambi sono posizionati in fondo ai rispettivi ponti. Il processo termina quando entrambi i ponti sono vuoti. Un processo si chiama gioco se termina. Prove che il tempo massimo di una partita è pari a 356 ore.

src_inmo_2026__Q06