Indian Olympiad Qualifier in Mathematics (IOQM) 2020

Trapezium ABCD, AB=3CD, E midpoint of BD; find n where [ABCD]=n[CDE]

Let $ABCD$ be a trapezium in which $AB\parallel CD$ and $AB=3CD$. Let $E$ be the midpoint of the diagonal $BD$. If $[ABCD]=n\times [CDE]$, what is the value of $n$? (Here $[\Gamma ]$ denotes the area of the geometrical figure $\Gamma$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Trapezio ABCD, AB=3CD, E punto medio di BD; trovare n dove [ABCD]=n[CDE]

Il $ABCD$ deve essere un trapezio in cui $AB\parallel CD$ e $AB=3CD$. Il punto medio della diagonale $BD$ è $E$. Se $[ABCD]=n\times [CDE]$, qual è il valore di $n$? (Qui $[\Gamma ]$ indica l’area della figura geometrica $\Gamma$.)

Risposta: 6 src_ioqm_2020__Q01

Number N is 503 in base b and 305 in base b+2; find product of digits of N

A number $N$ in base 10 is $503$ in base $b$ and $305$ in base $b+2$. What is the product of the digits of $N$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 45 Fonte: apri PDF

Il numero N è 503 nella base b e 305 nella base b+2; trovare il prodotto delle cifre di N

Un numero $N$ nella base 10 è $503$ nella base $b$ e $305$ nella base $b+2$. Qual è il prodotto delle cifre di $N$?

Risposta: 45 src_ioqm_2020__Q02

Telescoping sum equals 0.9999; find N

If $\sum _{k=1}^N\frac{2k+1}{(k^2+k{)}^2}=0.9999$ then determine the value of $N$.

Topic: Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 100 Fonte: apri PDF

La somma del telescopio è pari a 0,9999; trova N

Se $\sum _{k=1}^N\frac{2k+1}{(k^2+k{)}^2}=0.9999$, determinare il valore di $N$.

Risposta: 100 src_ioqm_2020__Q03

Rectangle ABCD, AB+BC+CD=20, AE=9, E midpoint of BC; find area

Let $ABCD$ be a rectangle in which $AB+BC+CD=20$ and $AE=9$ where $E$ is the mid-point of the side $BC$. Find the area of the rectangle.

Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Rettangolo ABCD, AB+BC+CD=20, AE=9, punto medio E di BC; area *

Il $ABCD$ deve essere un rettangolo in cui $AB+BC+CD=20$ e $AE=9$, in cui $E$ è il punto medio del lato $BC$. Trova l’area del rettangolo.

src_ioqm_2020__Q04

Count integer solutions to ||x|-2020| < 5

Find the number of integer solutions to $||x|-2020|<5$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 18 Fonte: apri PDF

*Soluzioni integrali per il calcolo del bilancio 2020 < *

Trovare il numero di soluzioni integrali a $||x|-2020|<5$.

Risposta: 18 src_ioqm_2020__Q05

Least positive integer to multiply 2^3·3^6·4^5·5^7·6^8 to get perfect square

What is the least positive integer by which $2^3\cdot 3^6\cdot 4^5\cdot 5^7\cdot 6^8$ should be multiplied so that the product is a perfect square?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 30 Fonte: apri PDF

Minimo intero positivo per moltiplicare 2^3·3^6·4^5·5^7·6^8 per ottenere il quadrato perfetto

Qual è il numero intero meno positivo per cui $2^3\cdot 3^6\cdot 4^5\cdot 5^7\cdot 6^8$ deve essere moltiplicato in modo che il prodotto sia un quadrato perfetto?

Risposta: 30 src_ioqm_2020__Q06

Isosceles triangle ABC, D on BC with BD=48, DC=61, CE perpendicular to AD; find AE

Let $ABC$ be a triangle with $AB=AC$. Let $D$ be a point on the segment $BC$ such that $BD=48$ and $DC=61$. Let $E$ be a point on $AD$ such that $CE$ is perpendicular to $AD$ and $DC=61$. Find $AE$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isoscelso ABC, D su BC con BD=48, DC=61, CE perpendicolare ad AD; trovare AE

Che $ABC$ sia un triangolo con $AB=AC$. Il punto $D$ deve essere un punto del segmento $BC$ tale che $BD=48$ e $DC=61$. Il $E$ deve essere un punto su $AD$ tale che $CE$ sia perpendicolare a $AD$ e $DC=61$. Trova $AE$.

src_ioqm_2020__Q07

5-digit number with digits k, k+1, k+2, 3k, k+3 equals m^2; find sum of digits of m

A 5-digit number (in base 10) has digits $k,k+1,k+2,3k,k+3$ in that order, from left to right. If this number is $m^2$ for some natural number $m$, find the sum of the digits of $m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

numero a 5 cifre con cifre k, k+1, k+2, 3k, k+3 = m^2; trovare la somma di cifre di m

Un numero a 5 cifre (in base 10) ha cifre $k,k+1,k+2,3k,k+3$ in quell’ordine, da sinistra a destra. Se questo numero è $m^2$ per un certo numero naturale $m$, trovare la somma delle cifre di $m$.

src_ioqm_2020__Q08

Triangle ABC, angle bisector of C meets AB at D, parallel lines through D; find sum of digits of p-q

Let $ABC$ be a triangle with $AB=5$, $AC=4$, $BC=6$. The internal angle bisector of $C$ intersects the side $AB$ at $D$. Points $M$ and $N$ are taken on sides $BC$ and $AC$, respectively, such that $DM\parallel AC$ and $DN\parallel BC$. If $\frac{(MN{)}^2}{p}=\frac{p}{q}$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, then what is the sum of the digits of $p-q$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, angolo bisectore di C incontra AB a D, linee parallele attraverso D; trovare la somma dei numeri di p-q

Si deve $ABC$ essere un triangolo con $AB=5$, $AC=4$, $BC=6$. Il bisettore di angolo interno di $C$ interseca il lato $AB$ a $D$. I punti $M$ e $N$ sono presi sui lati $BC$ e $AC$, rispettivamente, in modo tale che $DM\parallel AC$ e $DN\parallel BC$. Se $\frac{(MN{)}^2}{p}=\frac{p}{q}$ dove $p$ e $q$ sono numeri interi relativamente primi positivi, qual è la somma dei numeri di $p-q$?

src_ioqm_2020__Q09

Five students take test 0-100; largest possible difference between median and mean

Five students take a test on which any integer score from 0 to 100 inclusive is possible. What is the largest possible difference between the median and the mean of the scores? (The median of a set of scores is the middlemost score when the data is arranged in increasing order. It is exactly the middle score when there are an odd number of scores, and it is the average of the two middle scores when there are an even number of scores.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Stima, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Cinque studenti fanno il test 0-100; la differenza più grande possibile tra media e media

Cinque studenti fanno un test in cui è possibile ottenere un punteggio di un numero intero da 0 a 100 inclusi. Qual è la differenza più grande possibile tra la media e la media dei punteggi? (La media di un insieme di punteggi è il punteggio più medio quando i dati sono organizzati in ordine crescente. È esattamente il punteggio medio quando ci sono un numero impar di punteggi, ed è la media dei due punteggi medi quando ci sono un numero pari di punteggi.)

src_ioqm_2020__Q10

Count pairs (a,b) in X×X where x^2+ax+b and x^2+bx+a share a common real zero

Let $X=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$ and $S=\{(a,b)\in X\times X:x^2+ax+b\text{ and }{x}^2+bx+a\text{ have at least a common real zero}\}$. How many elements are there in $S$?

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Conta coppie (a,b) in X×X dove x^2+ax+b e x^2+bx+a condividono un normale vero zero

Let $X=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$ e $S=\{(a,b)\in X\times X:x^2+ax+b\text{ and }{x}^2+bx+a\text{ have at least a common real zero}\}$. Quanti elementi ci sono in $S$?

src_ioqm_2020__Q11

Concentric circles, chords touch inner circle, angle ABC=75 degrees; count chords before return

Given a pair of concentric circles, chords $AB,BC,CD,\dots$ of the outer circle are drawn such that they all touch the inner circle. If $\angle ABC=75^{\circ }$, how many chords can be drawn before returning to the starting point?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria Risposta: 24 Fonte: apri PDF

Circoli concentrici, accordi che toccano il cerchio interno, angolo ABC=75 gradi; contare gli accordi prima del ritorno

Dato un paio di cerchi concentrici, gli accordi $AB,BC,CD,\dots$ del cerchio esterno sono disegnati in modo tale che tutti toccino il cerchio interno. Se $\angle ABC=75^{\circ }$, quanti accordi possono essere disegnati prima di tornare al punto di partenza?

Risposta: 24 src_ioqm_2020__Q12

Sum of all positive integers n for which |2^n + 5^n - 65| is a perfect square

Find the sum of all positive integers $n$ for which $|2^n+5^n-65|$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La somma di tutti gli integri positivi n per i quali 2^n + 5^n - 65 è un quadrato perfetto

Trova la somma di tutti gli integri positivi $n$ per i quali $|2^n+5^n-65|$ è un quadrato perfetto.

src_ioqm_2020__Q13

55×60×65 as product of five distinct positive integers; minimize the largest

The product $55\times 60\times 65$ is written as the product of five distinct positive integers. What is the least possible value of the largest of these integers?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

55×60×65 come prodotto di cinque diversi integri positivi; ridurre al minimo il più grande

Il prodotto $55\times 60\times 65$ è scritto come prodotto di cinque diversi numeri interi positivi. Qual è il minimo valore possibile del più grande di questi interi?

src_ioqm_2020__Q14

Three couples in 2 rows of 3; no couple in same row adjacent or same column; count arrangements

Three couples sit for a photograph in 2 rows of three people each such that no couple is sitting in the same row next to each other or in the same column one behind the other. How many arrangements are possible?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tre coppie in 2 righe di 3; nessuna coppia nella stessa riga adiacente o nella stessa colonna; ordini di conteggio

Tre coppie si siedono per una fotografia in due righe di tre persone ciascuna in modo tale che nessuna coppia sia seduta nella stessa fila accanto all’altra o nella stessa colonna una dietro l’altra. Quanti accordi sono possibili?

src_ioqm_2020__Q15

Scalene triangle with sides x,y satisfying area condition; x=60, y=63; find largest side

The sides $x$ and $y$ of a scalene triangle satisfy $x+\frac{2\Delta }{x}=y+\frac{2\Delta }{y}$, where $\Delta$ is the area of the triangle. If $x=60$, $y=63$, what is the length of the largest side of the triangle?

Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangolo di scala con lati x,y che soddisfano la condizione di superficie; x=60, y=63; trovare il lato più grande

I lati $x$ e $y$ di un triangolo scaleno soddisfano $x+\frac{2\Delta }{x}=y+\frac{2\Delta }{y}$, dove $\Delta$ è l’area del triangolo. Se $x=60$, $y=63$, qual è la lunghezza del lato più grande del triangolo?

src_ioqm_2020__Q16

Count two-digit numbers with exactly 4 positive factors

How many two digit numbers have exactly 4 positive factors? (Here 1 and the number $n$ are also considered as factors of $n$.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare numeri a due cifre con esattamente 4 fattori positivi

Quanti numeri a due cifre hanno esattamente 4 fattori positivi? (Qui 1 e il numero $n$ sono considerati anche fattori di $n$.)

src_ioqm_2020__Q17

Evaluate sum involving nested square roots; find a+b

If $\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1{)}^2}}\right)=a+\frac{b}{c}$ where $a,b,c\in \mathbb{N}$, $b<c$, $\gcd (b,c)=1$, then what is the value of $a+b$?

Topic: Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Evaluare la somma che coinvolge radici quadrate incastonate; trovare a+b

Se $\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1{)}^2}}\right)=a+\frac{b}{c}$ dove $a,b,c\in \mathbb{N}$, $b<c$, $\gcd (b,c)=1$, qual è il valore di $a+b$?

src_ioqm_2020__Q18

Parallelogram ABCD, E and F midpoints of AB and BC; lines EC and FD intersect at P; find max triangle area

Let $ABCD$ be a parallelogram. Let $E$ and $F$ be the midpoints of $AB$ and $BC$ respectively. The lines $EC$ and $FD$ intersect at $P$ and form four triangles $APB$, $BPC$, $CPD$ and $DPA$. If the area of the parallelogram is 100 sq. units, what is the maximum area in sq. units of a triangle among these four triangles?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Parallelogramma ABCD, E e F punti di mezzo di AB e BC; linee EC e FD si incrociano a P; trovare superficie triangolare massima

$ABCD$ sia un parallelo. $E$ e $F$ siano rispettivamente i punti intermedi di $AB$ e $BC$. Le linee $EC$ e $FD$ si incrociano a $P$ e formano quattro triangoli $APB$, $BPC$, $CPD$ e $DPA$. Se l’area del parallelo è di 100 sq. unità, qual è la superficie massima in sq. unità di un triangolo tra questi quattro triangoli?

src_ioqm_2020__Q19

Women build wall in 45 hours; first worked 5 times as many hours as last; find hours first woman worked

A group of women working together at the same rate can build a wall in 45 hours. When the work started, all the women did not start working together. They joined the work over a period of time, one by one, at equal intervals. Once at work, each one stayed till the work was complete. If the first woman worked 5 times as many hours as the last woman, for how many hours did the first woman work?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le donne costruiscono il muro in 45 ore; prima lavorano 5 volte più ore di quelle dell’ultimo; trovano le ore lavorate dalla prima donna*

Un gruppo di donne che lavorano insieme allo stesso ritmo può costruire un muro in 45 ore. Quando l’opera iniziò, non tutte le donne iniziarono a lavorare insieme. Si univano al lavoro nel corso di un periodo di tempo, uno dopo l’altro, a uguali intervalli. Una volta al lavoro, ciascuno rimaneva fino a quando il lavoro era finito. Se la prima donna ha lavorato 5 volte più ore dell’ultima donna, per quante ore ha lavorato la prima donna?

src_ioqm_2020__Q20

N thousand rupees given to A,B,C proportional to age each year; find N

A total of $N$ thousand rupees is given to three persons $A,B,C$ every year, each being given an amount proportional to her age. In the first year, $A$ got six-seventh of the total amount. When the sixth payment was made, $A$ got half the total amount. In the second year, $B$ got Rs 1000 less than that she had in the first year; and $C$ got twice of that she had in the first year. Find $N$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*N mila rupie assegnate a A,B,C in proporzione all’età ogni anno; trovare N *

Un totale di $N$ mille rupie viene versato ogni anno a tre persone $A,B,C$, a ciascuna una somma proporzionale alla sua età. Nel primo anno, $A$ ha ottenuto il sesto settimo dell’importo totale. Quando è stato effettuato il sesto pagamento, $A$ ha ricevuto la metà dell’importo totale. Nel secondo anno, $B$ ha ottenuto 1000 rupie in meno rispetto al primo anno; e $C$ ha ottenuto il doppio di quello che aveva nel primo anno. Trova $N$.

src_ioqm_2020__Q21

Triangle ABC, perpendiculars from A to angle bisectors of B and C; find area given PQ=7, QR=6, RS=8

In triangle $ABC$, let $P$ and $R$ be the feet of the perpendiculars from $A$ onto the external and internal bisectors of $\angle ABC$, respectively; and let $Q$ and $S$ be the feet of the perpendiculars from $A$ onto the internal and external bisectors of $\angle ACB$, respectively. If $PQ=7$, $QR=6$ and $RS=8$, what is the area of triangle $ABC$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 84 Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, perpendicolari da A a bisettori angolari di B e C; trovare superficie data PQ=7, QR=6, RS=8

Nel triangolo $ABC$, $P$ e $R$ siano i piedi delle perpendicolari da $A$ ai bisettici esterni e interni di $\angle ABC$, rispettivamente; e $Q$ e $S$ siano i piedi delle perpendicolari da $A$ ai bisettici interni ed esterni di $\angle ACB$, rispettivamente. Se $PQ=7$, $QR=6$ e $RS=8$, qual è la superficie del triangolo $ABC$?

Risposta: 84 src_ioqm_2020__Q22

Incircle of scalene triangle; mixtilinear incircle radii r_A=16, r_B=25, r_C=36; find inradius

The incircle $\Gamma$ of a scalene triangle $ABC$ touches $BC$ at $D$, $CA$ at $E$ and $AB$ at $F$. Let $r_A$ be the radius of the circle inside $ABC$ which is tangent to $\Gamma$ and to the sides $AB$ and $AC$. Define $r_B$ and $r_C$ similarly. If $r_A=16$, $r_B=25$ and $r_C=36$, determine the radius of $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Incircolo di triangolo di scalene; radii di circolo mistilineare r_A=16, r_B=25, r_C=36; radio di ritrovamento *

L’incircolo $\Gamma$ di un triangolo di scalene $ABC$ tocca $BC$ a $D$, $CA$ a $E$ e $AB$ a $F$. Il $r_A$ deve essere il raggio del cerchio all’interno di $ABC$ che è tangente a $\Gamma$ e ai lati $AB$ e $AC$. Definire $r_B$ e $r_C$ in modo simile. Se $r_A=16$, $r_B=25$ e $r_C=36$, determinare il raggio di $\Gamma$.

src_ioqm_2020__Q23

Light at (0,16), disc radius 2 at (6,10); shadow length on x-axis equals m√n; find m+n

A light source at the point $(0,16)$ in the coordinate plane casts light in all directions. A disc (a circle along with its interior) of radius 2 with center at $(6,10)$ casts a shadow on the $X$ axis. The length of the shadow can be written in the form $m\sqrt{n}$ where $m,n$ are positive integers and $n$ is square-free. Find $m+n$.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Luce a (0,16), raggio di disco 2 a (6,10); lunghezza delle ombre sull’asse x = m√n; trovare m+n

Una fonte luminosa al punto $(0,16)$ del piano di coordinate lancia luce in tutte le direzioni. Un disco (un cerchio con il suo interno) di raggio 2 con il centro a $(6,10)$ lancia un’ombra sull’asse $X$. La lunghezza dell’ombra può essere scritta nella forma $m\sqrt{n}$, dove $m,n$ sono numeri interi positivi e $n$ è quadrato libero. Trova $m+n$.

src_ioqm_2020__Q24

Smallest positive N where product formula with nearest perfect squares holds; find sum of squares of digits

For a positive integer $n$, let $⟨n⟩$ denote the perfect square integer closest to $n$. For example, $⟨74⟩=81$, $⟨18⟩=16$. If $N$ is the smallest positive integer such that $⟨91⟩\cdot ⟨120⟩\cdot ⟨143⟩\cdot ⟨180⟩\cdot N=91\cdot 120\cdot 143\cdot 180\cdot N,$ find the sum of the squares of the digits of $N$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La formula del prodotto con i quadrati perfetti più vicini è la più piccola N positiva; trovare la somma dei quadrati di cifre

Per un numero intero positivo $n$, $⟨n⟩$ indica il numero intero quadrato perfetto più vicino a $n$. Ad esempio, $⟨74⟩=81$, $⟨18⟩=16$. Se $N$ è il numero intero positivo più piccolo tale che $⟨91⟩\cdot ⟨120⟩\cdot ⟨143⟩\cdot ⟨180⟩\cdot N=91\cdot 120\cdot 143\cdot 180\cdot N,$ trovi la somma dei quadrati delle cifre di $N$.

src_ioqm_2020__Q25

Color 6 disks with 2 black, 2 blue, 2 white; count distinct colorings under rotation/reflection

In the figure below, 4 of the 6 disks are to be colored black and 2 are to be colored white. Two colorings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. There are only four such colorings for the given two colors, as shown in Figure 1. In how many ways can we color the 6 disks such that 2 are colored black, 2 are colored blue with the given identification condition?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colore 6 dischi con 2 nero, 2 blu, 2 bianchi; contare colori distinti sotto rotazione/riflessione

Nella figura seguente, 4 dei 6 dischi devono essere di colore nero e 2 di colore bianco. Due colori che possono essere ottenuti l’uno dall’altro mediante una rotazione o un riflesso dell’intera figura sono considerati uguali. Esistono solo quattro colori di questo tipo per i due colori indicati, come mostrato alla figura 1. In quanti modi possiamo colorare i 6 dischi in modo che 2 siano di colore nero, 2 siano di colore blu con la condizione di identificazione data?

src_ioqm_2020__Q26

Bug moves along grid lines from A=(-3,2) to B=(3,-2), path length at most 14; count integer points on paths

A bug travels in the coordinate plane moving only along the lines that are parallel to the $x$-axis or $y$-axis. Let $A=(-3,2)$ and $B=(3,-2)$. Consider all possible paths of the bug from $A$ to $B$ of length at most 14. How many points with integer coordinates lie on at least one of these paths?

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Bug si muove lungo le linee della griglia da A=(-3,2) a B=(3,-2), lunghezza del percorso al massimo 14; contare i punti interi sui percorsi

Un bug viaggia nel piano delle coordinate muovendosi solo lungo le linee parallele all’asse $x$ o all’asse $y$. Let $A=(-3,2)$ e $B=(3,-2)$. Considera tutti i percorsi possibili del bug da $A$ a $B$ di lunghezza massima 14. Quanti punti con coordinate interi si trovano su almeno uno di questi percorsi?

src_ioqm_2020__Q27

Count good numbers in {1,…,100} where good means sum of r>=2 consecutive positive integers

A natural number $n$ is said to be good if $n$ is the sum of $r$ consecutive positive integers, for some $r\ge 2$. Find the number of good numbers in the set $\{1,2,\dots ,100\}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i numeri buoni in {1,…,100} dove il valore buono significa la somma di r>=2 interi positivi consecutivi

Si dice che un numero naturale $n$ sia buono se $n$ è la somma di $r$ interi positivi consecutivi, per alcuni $r\ge 2$. Trova il numero di numeri buoni nell’insieme $\{1,2,\dots ,100\}$.

src_ioqm_2020__Q28

Positive integers a,b,c with ab/(a-b)=c; find largest a+b+c not exceeding 99

Positive integers $a,b,c$ satisfy $\frac{ab}{a-b}=c$. What is the largest possible value of $a+b+c$ not exceeding 99?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

insieri interi positivi a,b,c con ab/(a-b)=c; trovare i più grandi a+b+c non superiori a 99

I numeri interi positivi $a,b,c$ soddisfano $\frac{ab}{a-b}=c$. Qual è il valore più grande possibile di $a+b+c$ non superiore a 99?

src_ioqm_2020__Q29

Count pairs (a,b) of natural numbers where a+1 divides b-1 and b divides a^2+2

Find the number of pairs $(a,b)$ of natural numbers such that $a+1$ divides $b-1$ and $b$ divides $a^2+2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare coppie (a,b) di numeri naturali in cui a+1 divide b-1 e b divide a^2+2

Trova il numero di coppie $(a,b)$ di numeri naturali in modo tale che $a+1$ divida $b-1$ e $b$ divida $a^2+2$.

src_ioqm_2020__Q30