Indian Olympiad Qualifier in Mathematics (IOQM) 2021

Square with vertices on three parallel lines distance 3 apart; find area

Three parallel lines $l_1,l_2,l_3$ are drawn in the plane such that the perpendicular distance between $l_1$ and $l_2$ is 3 and the perpendicular distance between $l_2$ and $l_3$ is also 3. A square $ABCD$ is constructed such that $A$ lies on $l_1$, $B$ lies on $l_2$, $C$ lies on $l_2$, and $D$ lies on $l_3$. Find the area of the square.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrato con vertici su tre linee parallele a distanza di 3 anni; trovare superficie

Nel piano sono tracciate tre linee parallele $l_1,l_2,l_3$ in modo tale che la distanza perpendicolare tra $l_1$ e $l_2$ sia 3 e la distanza perpendicolare tra $l_2$ e $l_3$ sia anche 3. Un quadrato $ABCD$ è costruito in modo tale che $A$ si trova su $l_1$, $B$ si trova su $l_2$, $C$ si trova su $l_2$ e $D$ si trova su $l_3$. Trova l’area della piazza.

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Numbers 1 to 101 written in red/blue; count red numbers given constraints

Ria writes down the numbers $1,2,\dots ,101$ in red and blue pens. The largest blue number is equal to the number of numbers written in blue and the smallest red number is equal to half the number of numbers written in red. How many numbers did Ria write with red pen?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numeri da 1 a 101 scritti in rosso/blu; contare i numeri rossi con vincoli

Ria scrive i numeri $1,2,\dots ,101$ in penne rosse e blu. Il numero blu più grande è pari al numero di numeri scritti in blu e il numero rosso più piccolo è pari alla metà del numero di numeri scritti in rosso. Quanti numeri ha scritto Ria con la penna rossa?

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Triangle with distinct prime sides in AP; find a/L for least perimeter

Consider the set $\mathcal{T}$ of all triangles whose sides are distinct prime numbers which are also in arithmetic progression. Let $△\in \mathcal{T}$ be the triangle with the least perimeter. If $a^{\circ }$ is the largest angle of $△$ and $L$ is its perimeter, determine the value of $\frac{a}{L}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con lati primari distinti in AP; trovare a/L per il perimetro minimo

Considerate l’insieme $\mathcal{T}$ di tutti i triangoli i cui lati sono numeri primi distinti che sono anche in progressione aritmetica. $△\in \mathcal{T}$ sia il triangolo con il minimo perimetro. Se $a^{\circ }$ è l’angolo più grande di $△$ e $L$ è il suo perimetro, determinare il valore di $\frac{a}{L}$.

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6-digit numbers with only digits a,b,c; sum is 5939399406; largest remainder of abc mod 100

Consider the set of all 6-digit numbers consisting only of 3 digits, $a,b,c$ are distinct. Suppose the sum of all these numbers is 5939399406. What is the largest remainder when the three digit number $\overline{abc}$ is divided by $100$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

numeri a 6 cifre con solo cifre a,b,c; somma 5939399406; maggior rimanente di abc mod 100

Considerate l’insieme di tutti i numeri a 6 cifre composti solo da 3 cifre, $a,b,c$ sono distinti. Supponiamo che la somma di tutti questi numeri sia 5939399406. Qual è il maggior residuo quando il numero a tre cifre $\overline{abc}$ è diviso da $100$?

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Parallelogram ABCD with longer side twice shorter; angle bisectors form XYZW; area of ABCD

In parallelogram $ABCD$ the longer side is twice the shorter side. Let $XYZW$ be the quadrilateral formed by the internal bisectors of the angles of $ABCD$. If the area of $XYZW$ is 10, find the area of $ABCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Parallelogramma ABCD con lato più lungo due volte più corto; bisectori di angolo formano XYZW; area di ABCD

Nel parallelo $ABCD$ il lato più lungo è il doppio del lato più breve. Il $XYZW$ è il quadrilaterale formato dai bisettori interni degli angoli di $ABCD$. Se l’area di $XYZW$ è 10, si trova l’area di $ABCD$.

src_ioqm_2021__Q05

Positive reals x,y,z with three quadratic constraints; find p+q where expression equals psqrt(q)*

Let $x,y,z$ be positive real numbers such that $x^2+y^2+z^2=49$, $xy+yz+zx=36$ and $x^2+\sqrt{3}xy+z^2=25$. If the value of $2xy+\sqrt{3}yz+sx$ can be written as $p\sqrt{q}$ where $p,q$ are integers and $q$ is not divisible by any prime number, find $p+q$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi x,y,z con tre restrizioni quadratiche; trovare p+q dove l’espressione è uguale a psqrt(q)*

$x,y,z$ siano numeri reali positivi come $x^2+y^2+z^2=49$, $xy+yz+zx=36$ e $x^2+\sqrt{3}xy+z^2=25$. Se il valore di $2xy+\sqrt{3}yz+sx$ può essere scritto come $p\sqrt{q}$ dove $p,q$ sono numeri interi e $q$ non è divisibile da un numero primo, trovare $p+q$.

src_ioqm_2021__Q06

Count non-decreasing maps from {1,2,3} to {1,2,3,4,5}

Find the number of maps $f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3,4,5\}$ such that $f(i)\le f(j)$ whenever $i<j$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le mappe non in diminuzione da {1,2,3} a {1,2,3,4,5}

Trova il numero di mappe $f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3,4,5\}$ in modo tale che $f(i)\le f(j)$ ogni volta che $i<j$.

src_ioqm_2021__Q07

Greatest integer N with floor(sqrt(floor(sqrt(N))))=4; find digit sum of N

For any real number $t$, let $[t]$ denote the greatest integer $\le t$. Suppose that $N$ is the greatest integer such that $\left[\sqrt{\left[\sqrt{N}\right]}\right]=4$ Find the sum of digits of $N$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Backward, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il più grande numero intero N con pavimento(sqrt(pavimento(sqrt(N))=4; trovare la somma digitali di N

Per qualsiasi numero reale $t$, $[t]$ indichi il numero intero più grande $\le t$. Supponiamo che $N$ sia il numero intero più grande tale che $\left[\sqrt{\left[\sqrt{N}\right]}\right]=4$ Trova la somma delle cifre di $N$.

src_ioqm_2021__Q08

Sequence P_n defined by linear recurrence; area of pentagon P0,P2,P4,P6,P8

Let $P_0=(3,1)$ and define $P_{n+1}=(x_{n+1},y_{n+1})$ for $n\ge 0$ by $x_{n+1}=\frac{3x_n-y_n}{2},y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$ Find the area of the quadrilateral formed by the points $P_0,P_2,P_4,P_6,P_8$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Ricorsione, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza P_n definita da ricorrenza lineare; area del pentagono P0, P2, P4, P6, P8

Indicare $P_0=(3,1)$ e definire $P_{n+1}=(x_{n+1},y_{n+1})$ per $n\ge 0$ con $x_{n+1}=\frac{3x_n-y_n}{2},y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$ Indicare l’area del quadrilaterale formato dai punti $P_0,P_2,P_4,P_6,P_8$.

src_ioqm_2021__Q09

Polynomial of least degree with integer coefficients satisfying P(sqrt(7)+sqrt(5))=2(sqrt(7)-sqrt(5)); find P(2)

Suppose $P$ is the polynomial of least degree with integer coefficients such that $P(\sqrt{7}+\sqrt{5})=2(\sqrt{7}-\sqrt{5})$ Find $P(2)$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio di grado minimo con coefficienti interi che soddisfano P(sqrt(7)+sqrt(5))=2(sqrt(7)-sqrt(5)); trovare P(2)

Supponiamo che $P$ sia il polinomio di grado minimo con coefficienti interi tali che $P(\sqrt{7}+\sqrt{5})=2(\sqrt{7}-\sqrt{5})$ Trova $P(2)$.

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4 married couples seated alternately by gender in a circle; no husband next to wife

In how many ways can 4 married couples sit in a merry-go-round with identical seats such that men and women occupy alternate seats and no husband seats next to his wife?

Topic: Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*4 coppie sposate sedute a turno per sesso in un cerchio; nessun marito accanto alla moglie *

In quanti modi quattro coppie sposate possono sedersi in un giro con sedi identici in modo tale che uomini e donne occupino sedi alternativi e nessun marito si sedi accanto alla moglie?

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12x12 board; minimum N rooks to guarantee 7 mutually non-attacking

A $12\times 12$ board is divided into 144 unit squares by drawing lines parallel to the sides. Two rooks placed on two unit squares are said to be non-attacking if they are not in the same column or same row. Find the least number $N$ such that if $N$ rooks are placed on the unit squares, one rook per square, we can always find 7 rooks such that no two are attacking each other.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

12x12 tabella; corve N minime per garantire 7 reciprocamente non attaccanti

Una tabella $12\times 12$ è divisa in 144 quadrati unitari disegnando linee parallele ai lati. Si dice che due corve posizionate su due quadrati di unità non attaccano se non sono nella stessa colonna o nella stessa riga. Trovare il numero minimo $N$ in modo che se le corde $N$ sono posizionate sui quadrati di unità, una torre per quadrato, possiamo sempre trovare 7 corde in modo che non ci siano due che si attaccano.

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