Indian Olympiad Qualifier in Mathematics (IOQM) 2022

Triangle inscribed in circle, tangent through B, area bound

A triangle $ABC$ with $AC=20$ is inscribed in a circle $\omega$. A tangent $t$ to $\omega$ is drawn through $B$. The distance of $t$ from $A$ is 25 and that from $C$ is 16. If $S$ denotes the area of the triangle $ABC$, find the largest integer not exceeding $S/29$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Triangolo inciso in cerchio, tangente attraverso B, zona limitata

Un triangolo $ABC$ con $AC=20$ è inserito in un cerchio $\omega$. Una tangente $t$ a $\omega$ viene tracciata attraverso $B$. La distanza di $t$ da $A$ è 25 e quella da $C$ è 16. Se $S$ indica l’area del triangolo $ABC$, si trova il numero intero più grande non superiore a $S/29$.

Risposta: 10 src_ioqm_2022__Q01

Parallelogram ABCD, point P on AB, Q on AD, find AC/AT

In a parallelogram $ABCD$, a point $P$ on the segment $AB$ is taken such that $\frac{AP}{AB}=\frac{61}{2022}$ and a point $Q$ on the segment $AD$ is taken such that $\frac{AQ}{AD}=\frac{61}{2065}$. If $PQ$ intersects $AC$ at $T$, find $\frac{AC}{AT}$ to the nearest integer.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 67 Fonte: apri PDF

Parallelogramma ABCD, punto P su AB, Q su AD, trovare AC/AT

In un parallelogramma $ABCD$, si prende un punto $P$ sul segmento $AB$ in modo tale che $\frac{AP}{AB}=\frac{61}{2022}$ e un punto $Q$ sul segmento $AD$ in modo tale che $\frac{AQ}{AD}=\frac{61}{2065}$. Se $PQ$ interseca $AC$ a $T$, trovare $\frac{AC}{AT}$ al numero intero più vicino.

Risposta: 67 src_ioqm_2022__Q02

Trapezoid, internal bisector meets BC at E, incircle of ABE touches AB at M, find angle DAE

In a trapezoid $ABCD$, the internal bisector of angle $A$ intersects the base $BC$ (or its extension) at the point $E$. Inscribed in the triangle $ABE$ is a circle touching the side $AB$ at $M$ and side $BE$ at the point $P$. Find the angle $DAE$ in degrees, if $AB\cdot MP=2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 60 Fonte: apri PDF

Trapezoide, bisector interno incontra BC a E, incircolo di ABE tocca AB a M, trovare angolo DAE

In un trapezoide $ABCD$, il bisettore interno dell’angolo $A$ interseca la base $BC$ (o la sua estensione) al punto $E$. Nel triangolo $ABE$ è inciso un cerchio che tocca il lato $AB$ al punto $M$ e il lato $BE$ al punto $P$. Trova l’angolo $DAE$ in gradi, se $AB\cdot MP=2$.

Risposta: 60 src_ioqm_2022__Q03

Alice and Bob iterate different maps on M and N, reach same number after 4 moves each

Starting with a positive integer $M$ written on the board, Alice plays the following game: in each move, if $x$ is the number on the board, she replaces it with $3x+2$. Similarly, starting with a positive integer $N$ written on the board, Bob plays the following game: in each move, if $x$ is the number on the board, he replaces it with $2x+27$. Given that Alice and Bob reach the same number after playing 4 moves each, find the smallest value of $M+N$.

Topic: Algebra Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Alice e Bob ripetono mappe diverse su M e N, raggiungono lo stesso numero dopo 4 mosse ciascuna

A partire da un numero intero positivo $M$ scritto sulla tavola, Alice gioca il seguente gioco: in ogni mossa, se $x$ è il numero sulla tavola, la sostituisce con $3x+2$. Allo stesso modo, partendo da un numero intero positivo $N$ scritto sulla tavola, Bob gioca il seguente gioco: in ogni mossa, se $x$ è il numero sulla tavola, lo sostituisce con $2x+27$. Dato che Alice e Bob raggiungono lo stesso numero dopo aver giocato 4 mosse ciascuno, trovare il valore più piccolo di $M+N$.

Risposta: 10 src_ioqm_2022__Q04

Smallest m so that sum of squares of 11 consecutive integers from m is a perfect square

Let $m$ be the smallest positive integer such that $m^2+(m+1{)}^2+\cdots +(m+10{)}^2$ is the square of a positive integer $n$. Find $m+n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 95 Fonte: apri PDF

Meno m in modo che la somma dei quadrati di 11 integri consecutivi da m sia un quadrato perfetto

$m$ sia il numero intero positivo più piccolo tale che $m^2+(m+1{)}^2+\cdots +(m+10{)}^2$ sia il quadrato di un numero intero positivo $n$. Trova $m+n$.

Risposta: 95 src_ioqm_2022__Q05

Positive integers a,b with a^3-b^3-ab=25, find largest a^2+b^3

Let $a,b$ be positive integers satisfying $a^3-b^3-ab=25$. Find the largest possible value of $a^2+b^3$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 43 Fonte: apri PDF

I numeri interi positivi a,b con a^3-b^3-ab=25, trovano i più grandi a^2+b^3

$a,b$ siano integri positivi che soddisfino $a^3-b^3-ab=25$. Trova il valore più grande possibile di $a^2+b^3$.

Risposta: 43 src_ioqm_2022__Q06

Count ordered pairs (a,b) in {10,…,30} with GCD(a,b)=LCM(a,b)-a-b

Find the number of ordered pairs $(a,b)$ such that $a,b\in \{10,11,\dots ,29,30\}$ and $\gcd (a,b)=\text{lcm}(a,b)-a-b$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 35 Fonte: apri PDF

Contare le coppie ordinate (a,b) in {10,…,30} con GCD(a,b)=LCM(a,b)-a-b

Trova il numero di coppie ordinate $(a,b)$ in modo tale che $a,b\in \{10,11,\dots ,29,30\}$ e $\gcd (a,b)=\text{lcm}(a,b)-a-b$.

Risposta: 35 src_ioqm_2022__Q07

Primes p and q satisfy q^2+3p=197p^2+q, write q/p=l+m/n, find max l+m+n

Suppose the prime numbers $p$ and $q$ satisfy $q^2+3p=197p^2+q$. Write $\frac{q}{p}=l+\frac{m}{n}$ where $l,m,n$ are positive integers, $m<n$, and $\gcd (m,n)=1$. Find the maximum value of $l+m+n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 32 Fonte: apri PDF

I primi p e q soddisfano q^2+3p=197p^2+q, scrivono q/p=l+m/n, trovano il massimo l+m+n

Supponiamo che i numeri primi $p$ e $q$ soddisfino $q^2+3p=197p^2+q$. Scrivere $\frac{q}{p}=l+\frac{m}{n}$ dove $l,m,n$ sono numeri interi positivi, $m<n$ e $\gcd (m,n)=1$. Trova il valore massimo di $l+m+n$.

Risposta: 32 src_ioqm_2022__Q08

Triangle with sides 18, x<100, exactly 35 valid integer values for third side

Two sides of an integer-sided triangle have lengths 18 and $x$ where $x<100$. If there are exactly 35 possible integer values $y$ such that $18,x,y$ are the sides of a non-degenerate triangle, find the number of possible integer values $x$ can have.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 82 Fonte: apri PDF

Triangolo con lati 18, x<100, esattamente 35 valori integri validi per il terzo lato

Due lati di un triangolo a lato intero hanno lunghezze 18 e $x$ dove $x<100$. Se ci sono esattamente 35 possibili valori interi $y$ in modo che $18,x,y$ siano i lati di un triangolo non degenerato, trovare il numero di possibili valori interi $x$ può avere.

Risposta: 82 src_ioqm_2022__Q09

10-digit number 9876543210, count new numbers obtained by swapping disjoint adjacent-digit pairs

Consider the 10-digit number $M=9876543210$. We obtain a new 10-digit number from $M$ according to the following rule: we choose one or more disjoint pairs of adjacent digits in $M$ and interchange the digits in these chosen pairs, keeping the others in their places, we get $M_1=9876543210$. Note that any number of (disjoint) pairs can be interchanged. Find the number of new numbers that can be so obtained from $M$.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 88 Fonte: apri PDF

numero a 10 cifre 9876543210, contare i nuovi numeri ottenuti scambiando coppie di cifre adiacenti disgiunte

Considera il numero di 10 cifre $M=9876543210$. Ottieniamo un nuovo numero di 10 cifre da $M$ secondo la seguente regola: scegliamo una o più coppie di cifre adiacenti in $M$ e scambiamo le cifre in queste coppie scelte, mantenendo le altre al loro posto, otteniamo $M_1=9876543210$. Si noti che qualsiasi numero di coppie (disconseguite) può essere scambiato. Trova il numero di nuovi numeri che si possono ottenere così da $M$.

Risposta: 88 src_ioqm_2022__Q10

AB diameter, C on circle, perpendicular from C meets circle at D and E, circle centered at C radius CD meets omega at P,Q, find PQ given perimeter of PEQ is 24

Let $AB$ be a diameter of a circle $\omega$ and let $C$ be a point on $\omega$, different from $A$ and $B$. The perpendicular from $C$ intersects $\omega$ at $D$ and $\omega$ at $E$ ($E\ne C$). The circle with centre at $C$ and radius $CD$ intersects $\omega$ at $P$ and $Q$. If the perimeter of the triangle $PEQ$ is 24, find the length of the side $PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 08 Fonte: apri PDF

Diametro AB, C su cerchio, perpendicolare da C incontra il cerchio a D ed E, cerchio centrato a C raggio CD incontra l’omega a P,Q, trovare PQ dato perimetro di PEQ è 24

Il $AB$ deve essere un diametro di un cerchio $\omega$ e il $C$ deve essere un punto su $\omega$, diverso da $A$ e $B$. La perpendicolare di $C$ si interseca tra $\omega$ a $D$ e $\omega$ a $E$ ($E\ne C$). Il cerchio con centro a $C$ e raggio $CD$ si interseca con $\omega$ a $P$ e $Q$. Se il perimetro del triangolo $PEQ$ è 24, si trova la lunghezza del lato $PQ$.

Risposta: 08 src_ioqm_2022__Q11

Triangle with angles 60 and 30, isosceles trapezium BPQR inside, find minimum area ratio

Given $△ABC$ with $\angle B=60^{\circ }$ and $\angle C=30^{\circ }$, let $P,Q,R$ be points on sides $BA$, $AC$, $CB$ respectively such that $BPQR$ is an isosceles trapezium with $PQ\parallel BR$ and $BP=QR$. Find the minimum possible value of $\frac{[ABC]}{[BPQR]}$, where $[S]$ denotes the area of any polygon $S$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Risposta: 03 Fonte: apri PDF

*Triangolo con angoli 60 e 30, trapezio BPQR interno, ritrovare il rapporto di superficie minimo *

Dato che $△ABC$ con $\angle B=60^{\circ }$ e $\angle C=30^{\circ }$, $P,Q,R$ devono essere punti sui lati $BA$, $AC$ e $CB$ rispettivamente in modo tale che $BPQR$ sia un trapezio di trapezium con $PQ\parallel BR$ e $BP=QR$. Trova il valore minimo possibile di $\frac{[ABC]}{[BPQR]}$, dove $[S]$ indica l’area di qualsiasi poligono $S$.

Risposta: 03 src_ioqm_2022__Q12

Triangle ABC, D on BC with AD=BC, angles x,y,z in AP, find largest angle ABC

Let $ABC$ be a triangle and let $D$ be a point on the segment $BC$ such that $AD=BC$. Suppose $\angle CAD=x^{\circ }$, $\angle ABC=y^{\circ }$ and $\angle ACB=z^{\circ }$ and $x,y,z$ are in an arithmetic progression in that order where the common difference is positive. Find the largest possible value of $\angle ABC$ in degrees.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 59 Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, D su BC con AD=BC, angoli x,y,z in AP, trovare angolo più grande ABC

Che $ABC$ sia un triangolo e che $D$ sia un punto sul segmento $BC$ tale che $AD=BC$. Supponiamo che $\angle CAD=x^{\circ }$, $\angle ABC=y^{\circ }$ e $\angle ACB=z^{\circ }$ e $x,y,z$ siano in una progressione aritmetica in quell’ordine in cui la differenza comune è positiva. Trovare il più grande valore possibile di $\angle ABC$ in gradi.

Risposta: 59 src_ioqm_2022__Q13

Complex numbers with three symmetric sum equations, find m+n for x/yz+y/zx+z/xy=m/n

Let $x,y,z$ be complex numbers such that $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=9,$ $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=64,$ $\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}=488.$ If $\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}=\frac{m}{n}$ where $m,n$ are nonzero integers with $\gcd (m,n)=1$, find $m+n$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 16 Fonte: apri PDF

Numeri complessi con tre equazioni di somma simmetriche, trovare m+n per x/yz+y/zx+z/xy=m/n

Se $x,y,z$ sono numeri interi non zeri con $\gcd (m,n)=1$, trovi $m+n$.

Risposta: 16 src_ioqm_2022__Q14

Real x,y with xy=1, find largest and smallest of a symmetric expression, compute T+t

Let $x,y$ be real numbers such that $xy=1$. Let $T$ and $t$ be the largest and the smallest values of the expression $\frac{(x+y{)}^2-(x-y{)}^2-2}{(x+y{)}^2+(x-y{)}^2-2}.$ If $T+t$ can be expressed in the form $\frac{m}{n}$ where $m,n$ are nonzero integers with $\gcd (m,n)=1$, find the value of $m+n$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 25 Fonte: apri PDF

Real x,y con xy=1, trovare il più grande e il più piccolo di un’espressione simmetrica, calcolare T+t

$x,y$ siano numeri reali come $xy=1$. Se $T+t$ può essere espresso nella forma $\frac{m}{n}$ dove $m,n$ sono numeri interi non zero con $\gcd (m,n)=1$, trovare il valore di $m+n$.

Risposta: 25 src_ioqm_2022__Q15

Reals a,b,c satisfying three equations, abc takes two rational values, find r+s+t+u

Let $a,b,c$ be reals satisfying $3ab+2=6b,3bc+2=5c,3ca+2=4a.$ Let $\mathbb{Q}$ denote the set of all rational numbers. Given that the product $abc$ can take two values $\frac{r}{s}\in \mathbb{Q}$ and $\frac{t}{u}\in \mathbb{Q}$, in lowest form, find $r+s+t+u$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: 18 Fonte: apri PDF

Reals a,b,c soddisfa tre equazioni, abc prende due valori razionali, trova r+s+t+u

Lasciate che $a,b,c$ siano reali che soddisfino $3ab+2=6b,3bc+2=5c,3ca+2=4a.$ Lasciate che $\mathbb{Q}$ denotino l’insieme di tutti i numeri razionali. Poiché il prodotto $abc$ può assumere due valori $\frac{r}{s}\in \mathbb{Q}$ e $\frac{t}{u}\in \mathbb{Q}$, nella forma più bassa, trova $r+s+t+u$.

Risposta: 18 src_ioqm_2022__Q16

f(n)=n minus largest prime divisor of n, find floor(sqrt(N)) where f(f(f(N)))=97

For a positive integer $n>1$, let $g(n)$ denote the largest prime divisor of $n$ and $f(n)=n-g(n)$. For example, $g(10)=5$, $f(10)=5$ and $g(13)=1$, $f(13)=1$. Let $N$ be the smallest positive integer such that $f(f(f(N)))=97$. Find the largest integer not exceeding $\sqrt{N}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Backward Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 09 Fonte: apri PDF

f(n) = n meno il più grande divisore primo di n, trovare piano(sqrt(N)) dove f(f(N)))=97

Per un intero positivo $n>1$, $g(n)$ indichi il più grande divisore primo di $n$ e $f(n)=n-g(n)$. Ad esempio, $g(10)=5$, $f(10)=5$ e $g(13)=1$, $f(13)=1$. $N$ sia il numero intero positivo più piccolo tale che $f(f(f(N)))=97$. Trova il numero intero più grande non superiore a $\sqrt{N}$.

Risposta: 09 src_ioqm_2022__Q17

Natural numbers m,n with m+3n-5=2LCM(m,n)-11GCD(m,n), find maximum m+n

Let $m,n$ be natural numbers such that $m+3n-5=2\text{lcm}(m,n)-11\gcd (m,n).$ Find the maximum possible value of $m+n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 70 Fonte: apri PDF

Numeri naturali m,n con m+3n-5=2LCM(m,n)-11GCD(m,n), trovare il massimo m+n*

$m,n$ siano numeri naturali in modo tale che $m+3n-5=2\text{lcm}(m,n)-11\gcd (m,n).$ trovi il valore massimo possibile di $m+n$.

Risposta: 70 src_ioqm_2022__Q18

String of n 1s, place + signs to sum to 1000, count valid n, find digit sum of count

Consider a string of $n$ $1$s. We wish to place $+$ signs in between so that the sum is 1000. For instance, if $n=190$, one may put $+$ signs so as to get $11$ ninety times, and get the sum 1000. If $a$ is the number of positive integers $n$ for which it is possible to place $+$ signs so as to get the sum 1000, then find the sum of the digits of $a$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 09 Fonte: apri PDF

String di n 1s, inserire + segni per sommare a 1000, contare n valido, trovare la somma di numeri di conto

Considera una stringa di $n$ $1$s. Vogliamo inserire segni $+$ in mezzo in modo che la somma sia di 1000. Per esempio, se $n=190$, si può mettere $+$ segni in modo da ottenere $11$ novanta volte, e ottenere la somma di 1000. Se $a$ è il numero di integri positivi $n$ per i quali è possibile posizionare segni $+$ per ottenere la somma di 1000, si trova la somma delle cifre di $a$.

Risposta: 09 src_ioqm_2022__Q19

Permutation landmark points, find maximum n>=3 for L(n) a perfect square

For an integer $n\ge 3$ and a permutation $\sigma =(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ of $\{1,2,\dots ,n\}$, we say $p_i$ is a landmark point if $2\le i\le n-1$ and $(p_{i-1}-p_i)(p_{i+1}-p_i)>0$. For example, for $n=7$, the permutation $(2,7,6,4,5,1,3)$ has 4 landmark points: $p_2=7$, $p_4=4$, $p_5=5$ and $p_6=1$. For a given $n\ge 3$, let $L(n)$ denote the number of permutations of $\{1,2,\dots ,n\}$ with exactly one landmark point. Find the maximum $n\ge 3$ for which $L(n)$ is a perfect square.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 03 Fonte: apri PDF

Punti di riferimento di permutazione, trovare il massimo n>=3 per L(n) un quadrato perfetto

Per un intero $n\ge 3$ e per una permutazione $\sigma =(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ di $\{1,2,\dots ,n\}$, diciamo $p_i$ è un punto di riferimento se $2\le i\le n-1$ e $(p_{i-1}-p_i)(p_{i+1}-p_i)>0$. Per esempio, per $n=7$, la permutazione $(2,7,6,4,5,1,3)$ ha 4 punti di riferimento: $p_2=7$, $p_4=4$, $p_5=5$ e $p_6=1$. Per un dato $n\ge 3$, $L(n)$ indica il numero di permutazioni di $\{1,2,\dots ,n\}$ con esattamente un punto di riferimento. Trova il massimo $n\ge 3$ per il quale $L(n)$ è un quadrato perfetto.

Risposta: 03 src_ioqm_2022__Q20

Ant on cube vertex, moves to adjacent vertex every 10 minutes, one-hour journeys returning to start

An ant is at a vertex of a cube. Every 10 minutes it moves to an adjacent vertex along an edge. If $N$ is the number of one hour journeys that end at the starting vertex, find the sum of the squares of the digits of $N$.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 74 Fonte: apri PDF

Ante sul vertice cubo, si muove al vertice adiacente ogni 10 minuti, viaggi di un’ora di ritorno al punto di partenza

Una formica è al vertice di un cubo. Ogni 10 minuti si sposta verso un vertice adiacente lungo un bordo. Se $N$ è il numero di viaggi di un’ora che terminano al vertice di partenza, trovare la somma dei quadrati delle cifre di $N$.

Risposta: 74 src_ioqm_2022__Q21

Friendly binary sequences with n terms, find smallest n>=2 with F_n>100

A binary sequence is a sequence in which each term is equal to 0 or 1. A binary sequence is called friendly if each term is adjacent to at least one term that is equal to 1. For example, the sequence $0,1,1,0,0,1,1,1$ is friendly. Let $F_n$ denote the number of friendly binary sequences with $n$ terms. Find the smallest positive integer $n\ge 2$ such that $F_n>100$.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 11 Fonte: apri PDF

Sequenze binarie amichevoli con n termini, trovare la più piccola n>=2 con F_n>100

Una sequenza binaria è una sequenza in cui ogni termine è uguale a 0 o 1. Una sequenza binaria è chiamata amichevole se ogni termine è adiacente ad almeno un termine che è uguale a 1. Ad esempio, la sequenza $0,1,1,0,0,1,1,1$ è amichevole. $F_n$ indichi il numero di sequenze binarie amichevoli con termini $n$. Trova il numero intero positivo più piccolo $n\ge 2$ tale da $F_n>100$.

Risposta: 11 src_ioqm_2022__Q22

Triangle ABC, median AD divides angle BAC in ratio 1:2, EB perp AB, BE=3, BA=4, find nearest integer to BC

In a triangle $ABC$, the median $AD$ divides $\angle BAC$ in the ratio $1:2$. Extend $AD$ to $E$ such that $EB$ is perpendicular to $AB$. Given that $BE=3$, $BA=4$, find the integer nearest to $BC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 29 Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, media AD divide angolo BAC in rapporto 1:2, EB perp AB, BE=3, BA=4, trovare il numero intero più vicino a BC

In un triangolo $ABC$, la media $AD$ divide $\angle BAC$ nel rapporto $1:2$. Estendere il $AD$ a $E$ in modo tale che $EB$ sia perpendicolare a $AB$. Dato che $BE=3$, $BA=4$, trovare il numero intero più vicino a $BC$.

Risposta: 29 src_ioqm_2022__Q23

Distribute 52 identical balls into 4 boxes, no box empty, pairwise differences not multiples of 6

Let $N$ be the number of ways of distributing 52 identical balls into 4 distinguishable boxes such that no box is empty and the difference between the number of balls in any two of the boxes is not a multiple of 6. If $N=100a+b$, where $a,b$ are positive integers less than 100, find $a+b$.

Topic: Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 81 Fonte: apri PDF

Distribuire 52 palle identiche in 4 scatole, nessuna scatola vuota, differenze in coppia non multipli di 6*

Il numero $N$ deve essere il numero di modi di distribuire 52 palle identiche in 4 scatole distinguibili in modo tale che nessuna scatola sia vuota e la differenza tra il numero di palle in due delle scatole non sia un multiple di 6. Se $N=100a+b$, dove $a,b$ sono numeri interi positivi inferiori a 100, trovare $a+b$.

Risposta: 81 src_ioqm_2022__Q24