Indian Olympiad Qualifier in Mathematics (IOQM) 2024

Smallest positive integer not dividing 9 factorial

The smallest positive integer that does not divide $1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9$ is:

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il numero intero positivo più piccolo non diviso 9 fattoriali

Il numero intero positivo più piccolo che non divide $1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9$ è:

src_ioqm_2024__Q01

Count four-digit odd numbers with digits 1,2,3,4 each once

The number of four-digit odd numbers having digits $1,2,3,4$, each occurring exactly once, is:

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri odd a quattro cifre con cifre 1,2,3,4 ciascuna una volta

Il numero di numeri odd a quattro cifre con cifre $1,2,3,4$, che si verificano ciascuna esattamente una volta, è:

src_ioqm_2024__Q02

Last two digits of $5^{2024}$

The number obtained by taking the last two digits of $5^{2024}$ in the same order is:

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 25 Fonte: apri PDF

Le ultime due cifre di $5^{2024}$

Il numero ottenuto prendendo le ultime due cifre di $5^{2024}$ nello stesso ordine è:

Risposta: 25 src_ioqm_2024__Q03

Find angle CAB in quadrilateral ABCD with given angles

Let $ABCD$ be a quadrilateral with $\angle ADC=70^{\circ }$, $\angle ACD=70^{\circ }$, $\angle ACB=10^{\circ }$ and $\angle BAD=110^{\circ }$. The measure of $\angle CAB$ (in degrees) is:

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca angolo CAB in ABCD quadrilaterale con angoli dati

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale con $\angle ADC=70^{\circ }$, $\angle ACD=70^{\circ }$, $\angle ACB=10^{\circ }$ e $\angle BAD=110^{\circ }$. La misura di $\angle CAB$ (in gradi) è:

src_ioqm_2024__Q04

Compute |ab-c| for given symmetric expressions in x,y,z

Let $a=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$, let $b=\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}$ and let $c=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)$. The value of $|ab-c|$ is:

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Calcolazione \ab-c per le espressioni simmetriche date in x,y,z

$a=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$, $b=\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}$ e $c=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\right)$. Il valore di $|ab-c|$ è:

src_ioqm_2024__Q05

Count triples (a,b,c) satisfying two simultaneous power equations

Find the number of triples of real numbers $(a,b,c)$ such that $a^{20}+b^{20}+c^{20}=a^{24}+b^{24}+c^{24}=1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare triples (a,b,c) che soddisfano due equazioni di potenza simultanee

Trova il numero di triples di numeri reali $(a,b,c)$ tale che $a^{20}+b^{20}+c^{20}=a^{24}+b^{24}+c^{24}=1$.

src_ioqm_2024__Q06

Sum of all surface areas of a cube with two given vertices

Determine the sum of all possible surface areas of a cube two of whose vertices are $(1,2,0)$ and $(3,3,2)$.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Summa di tutte le superfici di un cubo con due vertici dati

Determinare la somma di tutte le superfici possibili di un cubo di cui due vertici sono $(1,2,0)$ e $(3,3,2)$.

src_ioqm_2024__Q07

First two digits of smallest n with digit-sum conditions on n and n+1

Let $n$ be the smallest integer such that the sum of digits of $n$ is divisible by $5$ as well as the sum of digits of $(n+1)$ is divisible by $5$. What are the first two digits of $n$ in the same order?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le prime due cifre della n più piccola con condizioni di somma di cifre su n e n+1

$n$ sia il numero intero più piccolo tale che la somma delle cifre di $n$ sia divisibile da $5$ e la somma delle cifre di $(n+1)$ sia divisibile da $5$. Quali sono le prime due cifre di $n$ nello stesso ordine?

src_ioqm_2024__Q08

Count knight-move pairs in 5x5 integer grid

Consider the grid of points $X=\{(m,n)\mid 0\le m,n\le 4\}$. We say a pair of points $\{(a,b),(c,d)\}$ in $X$ is a knight-move pair if ($c=a\pm 2$ and $d=b\pm 1$) or ($c=a\pm 1$ and $d=b\pm 2$). The number of knight-move pairs in $X$ is:

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le coppie di movimenti di cavalieri in griglia di numeri interi 5x5

Considera la griglia dei punti $X=\{(m,n)\mid 0\le m,n\le 4\}$. Diciamo che una coppia di punti $\{(a,b),(c,d)\}$ in $X$ è una coppia di cavallo-movimento se ($c=a\pm 2$ e $d=b\pm 1$) o ($c=a\pm 1$ e $d=b\pm 2$). Il numero di coppie di movimenti di cavallo in $X$ è:

src_ioqm_2024__Q09

Count positive integral p for triangle with given side equation

Determine the number of positive integral values of $p$ for which there exists a triangle with sides $a,b$, and $c$ which satisfy $a^2+(p^2+9)b^2+9c^2-6ab-6pbc=0.$

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Conta p integrale positiva per un triangolo con un’equazione laterale data

Determinare il numero di valori integrali positivi di $p$ per i quali esiste un triangolo con lati $a,b$ e $c$ che soddisfano $a^2+(p^2+9)b^2+9c^2-6ab-6pbc=0.$

src_ioqm_2024__Q10

Find 1/a+1/b+1/c given two symmetric equations

The positive real numbers $a,b,c$ satisfy: $\frac{a}{2b+1}+\frac{2b}{3c+1}+\frac{3c}{a+1}=1$ $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{3c+1}=2$ What is the value of $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$?

Topic: Algebra Metodo: skill_manipolazione_algebrica, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca 1/a+1/b+1/c data due equazioni simmetriche

I numeri reali positivi $a,b,c$ soddisfano: $\frac{a}{2b+1}+\frac{2b}{3c+1}+\frac{3c}{a+1}=1$ $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{3c+1}=2$ Qual è il valore di $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$?

src_ioqm_2024__Q11

Area of triangle MAB in square ABCD with trisection of CD

Consider a square $ABCD$ of side length $16$. Let $E,F$ be points on $CD$ such that $CE=EF=FD$. Let the line $BF$ and $AE$ meet in $M$. The area of $△MAB$ is:

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area del triangolo MAB in quadrato ABCD con trisezione di CD

Considera un quadrato $ABCD$ di lunghezza laterale $16$. $E,F$ siano punti su $CD$ in modo tale che $CE=EF=FD$. La linea $BF$ e $AE$ si incontrano in $M$. La superficie di $△MAB$ è:

src_ioqm_2024__Q12

Find value of a given two equations in positive integers a,b,c with a>c

Three positive integers $a,b,c$ with $a>c$ satisfy the following equations: $ac+b+c=bc+a+66,a+b+c=32.$ Find the value of $a$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il valore di due equazioni date in numeri interi positivi a,b,c con a>c

Tre integri positivi $a,b,c$ con $a>c$ soddisfano le seguenti equazioni: $ac+b+c=bc+a+66,a+b+c=32.$ Trova il valore di $a$.

src_ioqm_2024__Q13

Particles at (79,80) after 80 steps of splitting rule

Initially, there are $3^{80}$ particles at the origin $(0,0)$. At each step the particles are moved to points above the $x$-axis as follows: if there are $n$ particles at any point $(x,y)$, then $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$ of them are moved to $(x+1,y+1)$, $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$ are moved to $(x,y+1)$ and the remaining to $(x-1,y+1)$. For example, after the first step, there are $3^{79}$ particles each at $(1,1)$, $(0,1)$ and $(-1,1)$. After the second step, there are $3^{78}$ particles each at $(-2,2)$ and $(2,2)$, $2\times 3^{78}$ particles each at $(-1,2)$ and $(1,2)$, and $3^{79}$ particles at $(0,2)$. After $80$ steps, the number of particles at $(79,80)$ is:

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Conteggio, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Particelle a (79,80) dopo 80 passaggi di regola di divisione

Inizialmente, ci sono particelle $3^{80}$ all’origine $(0,0)$. A ogni passo le particelle vengono spostate nei punti al di sopra dell’asse $x$ come segue: se ci sono particelle $n$ in qualsiasi punto $(x,y)$, allora $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$ di esse vengono spostate a $(x+1,y+1)$, $\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$ a $(x,y+1)$ e il resto a $(x-1,y+1)$. Per esempio, dopo il primo passo, ci sono $3^{79}$ particelle ciascuna a $(1,1)$, $(0,1)$ e $(-1,1)$. Dopo il secondo passo, ci sono particelle $3^{78}$ a $(-2,2)$ e $(2,2)$, $2\times 3^{78}$ a $(-1,2)$ e $(1,2)$ e $3^{79}$ a $(0,2)$. Dopo i passi $80$, il numero di particelle a $(79,80)$ è:

src_ioqm_2024__Q14

Smallest n so that 20 consecutive integers from n form acute triangle triples

Let $X$ be the set consisting of twenty positive integers $n,n+2,\dots ,n+38$. The smallest value of $n$ for which any three numbers $a,b,c\in X$, not necessarily distinct, form the sides of an acute-angled triangle is:

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Meno n in modo che 20 numeri interi consecutivi da n formino triangoli acuti

$X$ sia l’insieme composto da venti integri positivi $n,n+2,\dots ,n+38$. Il valore più piccolo di $n$ per il quale tutti i tre numeri $a,b,c\in X$, non necessariamente distinti, formano i lati di un triangolo a angolo acuto è:

src_ioqm_2024__Q15

Find nearest integer to f(27)-f(25) for functional equation

Let $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be a function satisfying the relation $4f(3-x)+3f(x)=x^2$ for any real $x$. Find the value of $f(27)-f(25)$ to the nearest integer. (Here $\mathbb{R}$ denotes the set of real numbers.)

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: skill_manipolazione_algebrica, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova il numero intero più vicino a f(27)-f(25) per l’equazione funzionale

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sia una funzione che soddisfi la relazione $4f(3-x)+3f(x)=x^2$ per qualsiasi $x$ reale. Trova il valore di $f(27)-f(25)$ al numero intero più vicino. (Qui $\mathbb{R}$ indica l’insieme dei numeri reali.)

src_ioqm_2024__Q16

Length of chord PQ parallel to BC through midpoint of altitude foot

Consider an isosceles triangle $ABC$ with sides $BC=30$, $CA=AB=20$. Let $D$ be the foot of the perpendicular from $A$ to $BC$, and let $M$ be the midpoint of $AD$. Let $PQ$ be a chord of the circumcircle of triangle $ABC$, such that $M$ lies on $PQ$ and $PQ$ is parallel to $BC$. The length of $PQ$ is:

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza PQ dell’accordo parallela a BC attraverso il punto medio del piede d’altitudine

Considera un triangolo di parice $ABC$ con lati $BC=30$, $CA=AB=20$. Il $D$ deve essere il piede della perpendicolare da $A$ a $BC$ e $M$ deve essere il punto medio di $AD$. Che $PQ$ sia un’accordazione del circoncircolo del triangolo $ABC$, in modo tale che $M$ si trovi su $PQ$ e $PQ$ sia parallela a $BC$. La lunghezza di $PQ$ è:

src_ioqm_2024__Q17

Last two digits of largest r printed under given conditions on p,q

Let $p,q$ be two-digit numbers neither of which are divisible by $10$. Let $r$ be the four-digit number by putting the digits of $p$ followed by the digits of $q$ (in order). As $p,q$ vary, a computer prints $r$ on the screen if $\gcd (p,q)=1$ and $p+q$ divides $r$. Suppose that the largest number that is printed by the computer is $N$. Determine the number formed by the last two digits of $N$ (in the same order).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Le ultime due cifre di r più grande stampate in determinate condizioni su p,q

$p,q$ siano numeri a due cifre, nessuno dei quali dividibile da $10$. Il numero $r$ deve essere di quattro cifre inserendo le cifre di $p$ seguite dalle cifre di $q$ (in ordine). Poiché $p,q$ varia, un computer stampa $r$ sullo schermo se $\gcd (p,q)=1$ e $p+q$ dividono $r$. Supponiamo che il numero più grande stampato dal computer sia $N$. Determinare il numero formato dalle ultime due cifre di $N$ (nel medesimo ordine).

src_ioqm_2024__Q18

Color 10 lines among 5 points so no monochromatic triangle exists

Consider five points in the plane, with no three of them collinear. Every pair of points among them is joined by a line. In how many ways can we color these lines by red or blue, so that no three of the points form a triangle with lines of the same color.

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Colore 10 linee tra 5 punti in modo da non esistere un triangolo monocromatico

Considerate cinque punti del piano, senza tre di essi collineari. Ogni coppia di punti tra loro è unita da una linea. In quanti modi possiamo colorare queste linee di rosso o blu, in modo che nessuno dei tre punti formino un triangolo con linee dello stesso colore.

Risposta: 12 src_ioqm_2024__Q19

Minimum steps to reach 121 from 11 via multiply by 2 or subtract 3

On a natural number $n$ you are allowed two operations: (1) multiply $n$ by $2$ or (2) subtract $3$ from $n$. For example starting with $8$ you can reach $13$ as follows: $8\to 16\to 13$. You need two steps and you cannot do in less than two steps. Starting from $11$, what is the least number of steps required to reach $121$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di passi per raggiungere 121 da 11 attraverso moltiplicazione per 2 o sottrazione di 3

Per un numero naturale $n$ è consentito due operazioni: (1) moltiplicare $n$ per $2$ o (2) sottrarre $3$ da $n$. Per esempio, a partire da $8$ si può raggiungere $13$ come segue: $8\to 16\to 13$. Hai bisogno di due passi e non puoi farlo in meno di due passi. A partire da $11$, qual è il numero minimo di passi richiesti per raggiungere $121$?

src_ioqm_2024__Q20

Remainder when n divided by 100, given floor conditions

An integer $n$ is such that $\lfloor \frac{n}{9}\rfloor$ is a three digit number with equal digits, and $\lfloor \frac{n-172}{4}\rfloor$ is a $4$ digit number with the digits $2,0,2,4$ in some order. What is the remainder when $n$ is divided by $100$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Restante quando n diviso per 100, date le condizioni del pavimento

Un numero intero $n$ è tale che $\lfloor \frac{n}{9}\rfloor$ è un numero a tre cifre con cifre uguali, e $\lfloor \frac{n-172}{4}\rfloor$ è un numero a cifre $4$ con le cifre $2,0,2,4$ in qualche ordine. Qual è il rimanente quando $n$ è diviso da $100$?

src_ioqm_2024__Q21

Find m+n+p for ratio AC/AB in right triangle with given BD ratio

In a triangle $ABC$, $\angle BAC=90^{\circ }$. Let $D$ be the point on $BC$ such that $AB+BD=AC+CD$. Suppose $BD:DC=2:1$. If $\frac{AC}{AB}=\frac{m+\sqrt{p}}{n}$, where $m,n$ are relatively prime positive integers and $p$ is a prime number, determine the value of $m+n+p$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova m+n+p per il rapporto AC/AB nel triangolo rettangolo con un dato rapporto BD

In un triangolo $ABC$, $\angle BAC=90^{\circ }$. $D$ sia il punto di $BC$ in modo tale che $AB+BD=AC+CD$. Supponiamo $BD:DC=2:1$. Se $\frac{AC}{AB}=\frac{m+\sqrt{p}}{n}$, dove $m,n$ sono numeri interi positivi relativamente primi e $p$ è un numero primo, determinare il valore di $m+n+p$.

src_ioqm_2024__Q22

Smallest n such that fourth powers 1^4,…,14^4 have distinct remainders mod n

Consider the fourteen numbers, $1^4,2^4,\dots ,14^4$. The smallest natural number $n$ such that they leave distinct remainders when divided by $n$ is:

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*N più piccolo in modo tale che la quarta potenza 1^4,…,14^4 abbia residui distinti mod n *

Considerate i quattordici numeri, $1^4,2^4,\dots ,14^4$. Il numero naturale più piccolo $n$ tale da lasciare residui distinti quando diviso per $n$ è:

src_ioqm_2024__Q23

Count degree-14 polynomials in F such that product with q(x)=x^3+x+1 stays in F

Consider the set $F$ of all polynomials whose coefficients are in the set of $\{0,1\}$. Let $q(x)=x^3+x+1$. The number of polynomials $p(x)$ in $F$ of degree $14$ such that the product $p(x)q(x)$ is also in $F$ is:

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i polinomi di grado 14 in F in modo tale che il prodotto con q(x) = x^3+x+1 rimanga in F

Considera l’insieme $F$ di tutti i polinomi i cui coefficienti sono nell’insieme $\{0,1\}$. Let $q(x)=x^3+x+1$. Il numero di polinomi $p(x)$ in $F$ di grado $14$ tale che il prodotto $p(x)q(x)$ sia anche in $F$ è:

src_ioqm_2024__Q24

Find N^2 (largest square) in finite set M of perfect squares and 92

A finite set $M$ of positive integers consists of distinct perfect squares and the number $92$. The average of the numbers in $M$ is $85$. If we remove $92$ from $M$, the average drops to $84$. If $N^2$ is the largest possible square in $M$, what is the value of $N$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca N^2 (quadrato più grande) in un insieme finito di M di quadrati perfetti e 92

Un insieme finito $M$ di interi positivi è costituito da quadrati perfetti distinti e dal numero $92$. La media dei numeri di $M$ è $85$. Se rimuoviamo $92$ da $M$, la media scende a $84$. Se $N^2$ è il più grande quadrato possibile in $M$, qual è il valore di $N$?

src_ioqm_2024__Q25

Sum of floor(x) for real x satisfying 16+15x+15x^2=floor(x)^3

The sum of $\lfloor x\rfloor$ for all real numbers $x$ satisfying the equation $16+15x+15x^2=\lfloor x{\rfloor }^3$ is:

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Suma del pavimento(x) per x reale soddisfacente 16+15x+15x^2=pavimento(x)^3

La somma di $\lfloor x\rfloor$ per tutti i numeri reali $x$ che soddisfano l’equazione $16+15x+15x^2=\lfloor x{\rfloor }^3$ è:

src_ioqm_2024__Q26

Product mn where area of pedal triangle DEF is msqrt(n) for isogonal point*

In a triangle $ABC$, a point $P$ in the interior of $ABC$ is such that $\angle BPC-\angle BAC=\angle CPA-\angle CBA=\angle APB-\angle ACB.$ Suppose $\angle BAC=30^{\circ }$ and $AP=12$. Let $D,E,F$ be the feet of perpendiculars from $P$ on to $BC,CA,AB$ respectively. If $m\sqrt{n}$ is the area of the triangle $DEF$ where $m,n$ are integers with $n$ prime, then what is the value of the product $mn$?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Produzione mn in cui l’area del triangolo pedale DEF è msqrt(n) per il punto isogonale*

In un triangolo $ABC$, un punto $P$ all’interno di $ABC$ è tale che $\angle BPC-\angle BAC=\angle CPA-\angle CBA=\angle APB-\angle ACB.$ supponga $\angle BAC=30^{\circ }$ e $AP=12$. Il $D,E,F$ deve essere il piede delle perpendicolari da $P$ a $BC,CA,AB$ rispettivamente. Se $m\sqrt{n}$ è l’area del triangolo $DEF$ dove $m,n$ sono numeri interi con $n$ primo, qual è il valore del prodotto $mn$?

src_ioqm_2024__Q27

Largest n<30 with (n^8+3n^4-4)/2 squarefree

Find the largest positive integer $n<30$ such that $\frac{1}{2}(n^8+3n^4-4)$ is not divisible by the square of any prime number.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

N<30 più piccolo con (n^8+3n^4-4)/2 libero da quadrati

Trova il più grande intero positivo $n<30$ in modo che $\frac{1}{2}(n^8+3n^4-4)$ non sia divisibile per il quadrato di qualsiasi numero primo.

src_ioqm_2024__Q28

Last two digits of count of divisors of n^2 less than n not dividing n

Let $n=2^{19}{3}^{12}$. Let $M$ denote the number of positive divisors of $n^2$ which are less than $n$ but would not divide $n$. What is the number formed by taking the last two digits of $M$ (in the same order)?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ultime due cifre del conteggio di divisori di n^2 inferiore a n che non dividono n

Let $n=2^{19}{3}^{12}$. $M$ indica il numero di divisori positivi di $n^2$ che sono inferiori a $n$ ma non dividono $n$. Qual è il numero formato prendendo le ultime due cifre di $M$ (nel medesimo ordine)?

src_ioqm_2024__Q29

Minimum integer AC in right triangle ABC with integer perimeter and altitude BD=12

Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle B=90^{\circ }$. Let the length of the altitude $BD$ be equal to $12$. What is the minimum possible length of $AC$, given that $AC$ and the perimeter of triangle $ABC$ are integers?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum di AC a numero intero nel triangolo rettangolo ABC con perimetro e altitudine BD=12

$ABC$ sia un triangolo rettangolare con $\angle B=90^{\circ }$. La lunghezza dell’altitudine $BD$ è uguale a $12$. Qual è la lunghezza minima possibile di $AC$, dato che $AC$ e il perimetro del triangolo $ABC$ sono numeri interi?

src_ioqm_2024__Q30