Indian Olympiad Qualifier in Mathematics (IOQM) 2025 — Sep 07

60% of x is 40; find x% of 60

If $60\%$ of a number $x$ is 40, then what is $x\%$ of 60?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 40 Fonte: apri PDF

60% di x è 40; trovare x% di 60

Se $60\%$ di un numero $x$ è 40, allora cosa è $x\%$ di 60?

Risposta: 40 src_ioqm_2025_sep07__Q01

Count positive integers ≤100 divisible by 3 but not 2

Find the number of positive integers $n$ less than or equal to 100, which are divisible by 3 but are not divisible by 2.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 17 Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi ≤100 divisibili per 3 ma non per 2

Trova il numero di interi positivi $n$ inferiori o uguali a 100, divisibili per 3 ma non divisibili per 2.

Risposta: 17 src_ioqm_2025_sep07__Q02

Integer-sided rectangle area 20; minimum perimeter

The area of an integer-sided rectangle is 20. What is the minimum possible value of its perimeter?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 18 Fonte: apri PDF

area rettangolare laterale integrale 20; perimetro minimo

L’area di un rettangolo a lato intero è 20. Qual è il valore minimo possibile del suo perimetro?

Risposta: 18 src_ioqm_2025_sep07__Q03

Count isosceles integer-sided triangles with perimeter 23

How many isosceles integer-sided triangles are there with perimeter 23?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 11 Fonte: apri PDF

Contare triangoli a lato intero con perimetro 23

Quanti triangoli a lato intero hanno il perimetro 23?

Risposta: 11 src_ioqm_2025_sep07__Q04

Count 3-digit numbers $\overline{abc}$ with $a\ne 0$ and $c=a+b$

How many 3-digit numbers $\overline{abc}$ in base 10 are there with $a\ne 0$ and $c=a+b$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 45 Fonte: apri PDF

Contare i numeri a 3 cifre $\overline{abc}$ con $a\ne 0$ e $c=a+b$

Quanti numeri a 3 cifre $\overline{abc}$ nella base 10 ci sono con $a\ne 0$ e $c=a+b$?

Risposta: 45 src_ioqm_2025_sep07__Q05

Person age perfect square in 2025 and 2012; perfect cube m years after 2025

The age of a person (in years) in 2025 is a perfect square. His age (in years) was also a perfect square in 2012. His age (in years) will be a perfect cube $m$ years after 2025. Determine the smallest value of $m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

L’età di una persona in quadrato perfetto nel 2025 e 2012; m cubo perfetto anni dopo il 2025

L’età di una persona (in anni) nel 2025 è un quadrato perfetto. La sua età (in anni) era anche un quadrato perfetto nel 2012. La sua età (in anni) sarà un cubo perfetto $m$ anni dopo il 2025. Determinare il valore più piccolo di $m$.

src_ioqm_2025_sep07__Q06

Sum of two reals is positive integer n, sum of squares is n+1012; max n

The sum of two real numbers is a positive integer $n$ and the sum of their squares is $n+1012$. Find the maximum possible value of $n$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 2025 Fonte: apri PDF

La somma di due reali è un intero positivo n, la somma dei quadrati è n+1012; max n

La somma di due numeri reali è un intero positivo $n$ e la somma dei loro quadrati è $n+1012$. Trova il valore massimo possibile di $n$.

Risposta: 2025 src_ioqm_2025_sep07__Q07

Colour 4 vertices of quadrilateral with 4 colours; sides and diagonal AC get different-coloured endpoints

A quadrilateral has four vertices $A,B,C,D$. We want to colour each vertex in one of the four colours red, blue, green or yellow, so that every side of the quadrilateral and the diagonal $AC$ have end points of different colours. In how many ways can we do this?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colore 4 vertici di quadrilaterali con 4 colori; lati e diagonali AC ottengono punti terminali di colore diverso

Un quadrilaterale ha quattro vertici $A,B,C,D$. Vogliamo colorare ogni vertice in uno dei quattro colori rosso, blu, verde o giallo, in modo che ogni lato del quadrilaterale e la diagonale $AC$ abbiano punti terminali di diversi colori. In quanti modi possiamo farlo?

src_ioqm_2025_sep07__Q08

Four sides and one diagonal of quadrilateral; lengths 10,20,28,50,75; find diagonal

Four sides and a diagonal of a quadrilateral are of lengths 10, 20, 28, 50, 75, not necessarily in that order. Which amongst them is the only possible length of the diagonal?

Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 28 Fonte: apri PDF

Quattro lati e una diagonale di quadrilaterali; lunghezze 10,20,28,50,75; trovare diagonale

Quattro lati e una diagonale di un quadrilaterale hanno lunghezze 10, 20, 28, 50, 75, non necessariamente in quell’ordine. Quale tra loro è l’unica lunghezza possibile della diagonale?

Risposta: 28 src_ioqm_2025_sep07__Q09

Cylinder with integer height and radius; surface area equals volume; smallest k where volume is kπ

The height and the base radius of a closed right circular cylinder are positive integers and its total surface area is numerically equal to its volume. If its volume is $k\pi$ where $k$ is a positive integer, what is the smallest possible value of $k$?

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Cilindro con altezza e raggio interi; superficie pari al volume; k più piccolo dove il volume è kπ

L’altezza e il raggio di base di un cilindro circolare a destra chiuso sono numeri interi positivi e la sua superficie totale è numericamente pari al suo volume. Se il suo volume è $k\pi$ e $k$ è un intero positivo, quale è il valore più piccolo possibile di $k$?

src_ioqm_2025_sep07__Q10

Fraction a/b closest to 3/4 with gcd(a,b)=1 and b≤15, a/b≠3/4; find a+b

Consider a fraction $\frac{a}{b}\ne \frac{3}{4}$, where $a,b$ are positive integers with $\gcd (a,b)=1$ and $b\le 15$. If this fraction is chosen closest to $\frac{3}{4}$ amongst all such fractions, then what is the value of $a+b$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Frazione a/b più vicina a 3/4 con gcd(a,b)=1 e b≤15, a/b≠3/4; trovare a+b

Considera una frazione $\frac{a}{b}\ne \frac{3}{4}$, dove $a,b$ sono integri positivi con $\gcd (a,b)=1$ e $b\le 15$. Se questa frazione è scelta più vicina a $\frac{3}{4}$ tra tutte queste frazioni, qual è il valore di $a+b$?

src_ioqm_2025_sep07__Q11

Five-digit $\overline{abcab}$ divisible by $\overline{ab}$ but not 13; largest digit sum

Consider five-digit positive integers of the form $\overline{abcab}$ that are divisible by the two digit number $\overline{ab}$ but not divisible by 13. What is the largest possible sum of the digits of such a number?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Cinque cifre $\overline{abcab}$ divisibili per $\overline{ab}$ ma non 13; somma di più grandi cifre

Considera gli integri positivi a cinque cifre della forma $\overline{abcab}$ divisibili dal numero a due cifre $\overline{ab}$ ma non divisibili per 13. Qual è la somma più grande possibile dei numeri di un tale numero?

src_ioqm_2025_sep07__Q12

Quadrilateral with given sides and angles 30° and 90°; acute angle between diagonals

Three sides of a quadrilateral are $a=4\sqrt{3}$, $b=9$ and $c=\sqrt{3}$. The sides $a$ and $b$ enclose an angle of $30^{\circ }$, and the sides $b$ and $c$ enclose an angle of $90^{\circ }$. If the acute angle between the diagonals is $x^{\circ }$, what is the value of $x$?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterali con lati e angoli dati 30° e 90°; angolo acuto tra le diagonali

I tre lati di un quadrilaterale sono $a=4\sqrt{3}$, $b=9$ e $c=\sqrt{3}$. I lati $a$ e $b$ contengono un angolo di $30^{\circ }$, e i lati $b$ e $c$ contengono un angolo di $90^{\circ }$. Se l’angolo acuto tra le diagonali è $x^{\circ }$, qual è il valore di $x$?

src_ioqm_2025_sep07__Q13

Functional equation f(mn+1)=f(m)f(n)-f(n)-m+2, f(0)=1; largest N with sum f(k)<100

A function $f$ is defined on the set of integers such that for any two integers $m$ and $n$, $f(mn+1)=f(m)f(n)-f(n)-m+2$ holds and $f(0)=1$. Determine the largest positive integer $N$ such that $\sum _{k=1}^{N}f(k)<100$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale f(mn+1)=f(m) f(n)-f(n)-m+2, f(0)=1; più grande N con la somma f(k)<100

Una funzione $f$ è definita sull’insieme di integri in modo tale che per due integri $m$ e $n$, $f(mn+1)=f(m)f(n)-f(n)-m+2$ è mantenuta e $f(0)=1$. Determinare il più grande intero positivo $N$ tale che $\sum _{k=1}^{N}f(k)<100$.

src_ioqm_2025_sep07__Q14

6 coupons and 6 envelopes; pairs placed together in envelopes; no coupon in same-numbered envelope

There are six coupons numbered 1 to 6 and six envelopes, also numbered 1 to 6. The first two coupons are placed together in any one envelope. Similarly, the third and the fourth are placed together in a different envelope, and the last two are placed together in yet another different envelope. How many ways can this be done if no coupon is placed in the envelope having the same number as the coupon?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

6 coupon e 6 bulleti; coppie inserite insieme in bulleti; nessun coupon in bulleto con numero identico

Esistono sei cuponi numerati da 1 a 6 e sei buste, anche numerati da 1 a 6. I primi due coupon sono messi insieme in una sola busta. Allo stesso modo, il terzo e il quarto sono messi insieme in una busta diversa, e gli ultimi due sono messi insieme in un’altra busta diversa. Quanti modi si può fare se non si inserisce un coupon nella busta con lo stesso numero del coupon?

src_ioqm_2025_sep07__Q15

Two degree-2 polynomials with given ratio conditions; find f(5)

Let $f(x)$ and $g(x)$ be two polynomials of degree 2 such that $\frac{f(-2)}{g(-2)}=\frac{f(3)}{g(3)}=4.$ If $g(5)=2$, $f(7)=12$, $g(7)=-6$, what is the value of $f(5)$?

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Polinomi di due gradi-2 con determinate condizioni di rapporto; trovare f(5) *

Lasciate che $f(x)$ e $g(x)$ siano due polinomi di grado 2 in modo tale che $\frac{f(-2)}{g(-2)}=\frac{f(3)}{g(3)}=4.$ Se $g(5)=2$, $f(7)=12$, $g(7)=-6$, qual è il valore di $f(5)$?

src_ioqm_2025_sep07__Q16

Parallelogram MTAI with area 40/41 and MI=1/MT; least diagonal MA squared equals a/b; find |a-b|

$MTAI$ is a parallelogram of area $\frac{40}{41}$ square units such that $MI=1/MT$. If $d$ is the least possible length of the diagonal $MA$, and $d^2=\frac{a}{b}$, where $a,b$ are positive integers with $\gcd (a,b)=1$, find $|a-b|$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*MTAI parallelogramma con area 40/41 e MI=1/MT; meno diagonale MA al quadrato è uguale a/b; trovare

$MTAI$ è un parallelogramma di unità quadrate di superficie $\frac{40}{41}$ tale che $MI=1/MT$. Se $d$ è la lunghezza minima possibile della diagonale $MA$ e $d^2=\frac{a}{b}$, dove $a,b$ sono interi positivi con $\gcd (a,b)=1$, trovare $|a-b|$.

src_ioqm_2025_sep07__Q17

Permutations of digits of 223334444; count nine-digit integers with at least one 3 right of last 4

Let $N$ be the number of nine-digit integers that can be obtained by permuting the digits of 223334444 and which have at least one 3 to the right of the right-most occurrence of 4. What is the remainder when $N$ is divided by 100?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Permutazioni di cifre di 223334444; contare numeri interi a nove cifre con almeno un 3 a destra dell’ultimo 4

$N$ sia il numero di numeri interi a nove cifre che possono essere ottenuti permutando i numeri di 223334444 e che hanno almeno un 3 a destra della frequenza più a destra di 4. Qual è il rimanente quando $N$ è diviso per 100?

src_ioqm_2025_sep07__Q18

Right triangle ABC, square DEFG with F on AC, G on circle centred at A; find area of DEFG

In triangle $ABC$, $\angle B=90^{\circ }$, $AB=1$ and $BC=2$. On the side $BC$ there are two points $D$ and $E$ such that $E$ lies between $C$ and $D$ and $DEFG$ is a square, where $F$ lies on $AC$ and $G$ lies on the circle through $B$ with centre $A$. If the area of $DEFG$ is $\frac{m}{n}$ where $m$ and $n$ are positive integers with $\gcd (m,n)=1$, what is the value of $m+n$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo retto ABC, DEFG quadrato con F su AC, G su un cerchio incentrato su A; trovare superficie di DEFG

In triangolo $ABC$, $\angle B=90^{\circ }$, $AB=1$ e $BC=2$. Sul lato $BC$ ci sono due punti $D$ e $E$ in modo tale che $E$ si trova tra $C$ e $D$ e $DEFG$ è un quadrato, dove $F$ si trova su $AC$ e $G$ si trova sul cerchio attraverso $B$ con il centro $A$. Se l’area di $DEFG$ è $\frac{m}{n}$, dove $m$ e $n$ sono integri positivi con $\gcd (m,n)=1$, qual è il valore di $m+n$?

src_ioqm_2025_sep07__Q19

f(n)=remainder of n^n divided by 7; smallest period T

Let $f$ be the function defined by $f(n)=\text{remainder when }{n}^n\text{ is divided by }7,$ for all positive integers $n$. Find the smallest positive integer $T$ such that $f(n+T)=f(n)$ for all positive integers $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 42 Fonte: apri PDF

f(n) = rimanente di n^n diviso per 7; periodo più piccolo T

$f$ sia la funzione definita da $f(n)=\text{remainder when }{n}^n\text{ is divided by }7,$ per tutti gli integri positivi $n$. Trova il numero intero positivo $T$ più piccolo tale che $f(n+T)=f(n)$ per tutti i numeri interi positivi $n$.

Risposta: 42 src_ioqm_2025_sep07__Q20

List (a+1)n², m², a(n+1)² is three consecutive integers; largest m²

For some real numbers $m$, $n$ and a positive integer $a$, the list $(a+1)n^2,m^2,a(n+1{)}^2$ consists of three consecutive integers written in increasing order. What is the largest possible value of $m^2$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Lista (a+1)n2, m2, a(n+1)2 è di tre integri consecutivi; più grande m2

Per alcuni numeri reali $m$, $n$ e un intero positivo $a$, l’elenco $(a+1)n^2,m^2,a(n+1{)}^2$ è composto da tre numeri interi consecutivi scritti in ordine crescente. Qual è il valore più grande possibile di $m^2$?

src_ioqm_2025_sep07__Q21

Marble game with m blue and n red; Armaan picks last red; count winning (m,n) pairs

There are $m$ blue marbles and $n$ red marbles on a table. Armaan and Babita play a game by taking turns. In each turn the player has to pick a marble of the colour of his/her choice. Armaan starts first, and the player who picks the last red marble wins. For how many choices of $(m,n)$ with $1\le m,n\le 11$ can Armaan force a win?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di marmo con m blu e n rosso; Armaan sceglie l’ultimo rosso; contare le coppie vincenti (m,n) *

Su un tavolo ci sono marmi blu $m$ e marmi rossi $n$. Armaan e Babita giocano a turni. In ogni turno il giocatore deve scegliere un marmo del colore di sua scelta. Armaan inizia per primo, e il giocatore che sceglie l’ultimo marmo rosso vince. Per quante scelte di $(m,n)$ con $1\le m,n\le 11$ Armaan può forzare una vittoria?

src_ioqm_2025_sep07__Q22

Rectangle ABCD, points M on AB and N on BC with MC=CD, MD=MN, C,D,M,N concyclic; find m+n

Let $ABCD$ be a rectangle and let $M$, $N$ be points lying on sides $AB$ and $BC$, respectively. Assume that $MC=CD$ and $MD=MN$, and that points $C$, $D$, $M$, $N$ lie on a circle. If $(AB/BC{)}^2=m/n$ where $m$ and $n$ are positive integers with $\gcd (m,n)=1$, what is the value of $m+n$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rectangle ABCD, punti M su AB e N su BC con MC=CD, MD=MN, C,D,M,N conciclici; trovare m+n

Il $ABCD$ è un rettangolo e il $M$, il $N$ sono punti che si trovano rispettivamente sui lati $AB$ e $BC$. Supponiamo che $MC=CD$ e $MD=MN$, e che i punti $C$, $D$, $M$, $N$ si trovino su un cerchio. Se $(AB/BC{)}^2=m/n$ dove $m$ e $n$ sono integri positivi con $\gcd (m,n)=1$, qual è il valore di $m+n$?

src_ioqm_2025_sep07__Q23

P(x)=x^2025 divided by Q(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1; find R(3)

Let $P(x)=x^{2025}$, $Q(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1$. Let $R(x)$ be the polynomial remainder when the polynomial $P(x)$ is divided by the polynomial $Q(x)$. Find $R(3)$.

Topic: Algebra Metodo: Congruenze, Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

P(x)=x^2025 diviso da Q(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1; trovare R(3)

Per esempio, $P(x)=x^{2025}$, $Q(x)=x^4+x^3+2x^2+x+1$. $R(x)$ sia il residuo polinomial quando il polinomial $P(x)$ è diviso dal polinomial $Q(x)$. Trova $R(3)$.

src_ioqm_2025_sep07__Q24

For how many n in {1,…,37} can 1,…,2n be split into n pairs with product of sums a square

For how many numbers $n$ in the set $\{1,2,3,\dots ,37\}$ can we split the $2n$ numbers $1,2,\dots ,2n$ into $n$ pairs $\{a_i,b_i\}$, $1\le i\le n$, such that $\prod _{i=1}^n(a_i+b_i)$ is a square?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Per quanti n di {1,…,37} può essere diviso in n coppie con prodotto delle somme al quadrato

Per quanti numeri $n$ nel set $\{1,2,3,\dots ,37\}$ possiamo dividere i numeri $2n$ $1,2,\dots ,2n$ in coppie $n$ $\{a_i,b_i\}$, $1\le i\le n$, in modo che $\prod _{i=1}^n(a_i+b_i)$ sia un quadrato?

src_ioqm_2025_sep07__Q25

Sequence with strictly increasing 4-term averages and strictly decreasing 7-term averages; max length

Consider a sequence of real numbers of finite length. Consecutive four term averages of this sequence are strictly increasing, but consecutive seven term averages are strictly decreasing. What is the maximum possible length of such a sequence?

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Sequenza con medie strettamente in aumento a 4 termini e medie strettamente in diminuzione a 7 termini; lunghezza massima *

Considerate una sequenza di numeri reali di lunghezza finita. Le medie consecutive di quattro termini di questa sequenza aumentano strettamente, ma le medie di sette termini consecutivi diminuiscono strettamente. Qual è la lunghezza massima possibile di tale sequenza?

src_ioqm_2025_sep07__Q26

Count ordered triples (a,b,c) with 1≤a,b,c≤50 satisfying (lcm(a,c)+lcm(b,c))/(a+b)=26c/27

Find the number of ordered triples $(a,b,c)$ of positive integers such that $1\le a,b,c\le 50$ which satisfy the relation $\frac{\text{lcm}(a,c)+\text{lcm}(b,c)}{a+b}=\frac{26c}{27}.$ Here, by $\text{lcm}(x,y)$ we mean the LCM, that is, least common multiple of $x$ and $y$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i tripli ordinati (a,b,c) con 1 ≤a,b,c≤50 soddisfacenti (lcm(a,c)+lcm(b,c))/(a+b)=26c/27

Trova il numero di triples ordinati $(a,b,c)$ di enti interi positivi come $1\le a,b,c\le 50$ che soddisfano la relazione $\frac{\text{lcm}(a,c)+\text{lcm}(b,c)}{a+b}=\frac{26c}{27}.$ Qui, con $\text{lcm}(x,y)$ intendiamo il LCM, cioè il più piccolo comune multiple di $x$ e $y$.

src_ioqm_2025_sep07__Q27

Positive non-square integer a; sqrt(x-sqrt(x+a))=sqrt(a)-y; largest a<100

Assume $a$ is a positive integer which is not a perfect square. Let $x,y$ be non-negative integers such that $\sqrt{x-\sqrt{x+a}}=\sqrt{a}-y$. What is the largest possible value of $a$ such that $a<100$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Posibile intero non quadrato a; sqrt(x-sqrt(x+a))=sqrt(a)-y; più grande a<100

Supponiamo che $a$ sia un intero positivo che non sia un quadrato perfetto. $x,y$ siano integri non negativi come $\sqrt{x-\sqrt{x+a}}=\sqrt{a}-y$. Qual è il più grande valore possibile di $a$ tale che $a<100$?

src_ioqm_2025_sep07__Q28

Regular n-gon colourful iff 6 colours allow every 5 consecutive vertices different; largest non-colourful n

A regular polygon with $n\ge 5$ vertices is said to be colourful if it is possible to colour the vertices using at most 6 colours such that each vertex is coloured with exactly one colour, and such that any 5 consecutive vertices have different colours. Find the largest number $n$ for which a regular polygon with $n$ vertices is \textbf{not} colourful.

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Regular n-gon colorato se 6 colori consentono ogni 5 vertici consecutivi di differire; più grande n non colorato *

Si dice che un poligono regolare con vertici $n\ge 5$ sia colorato se è possibile colorare i vertici utilizzando al massimo 6 colori in modo tale che ogni vertice sia colorato esattamente con un colore e in modo tale che ogni 5 vertici consecutivi abbiano colori diversi. Trova il numero più grande $n$ per il quale un poligono regolare con vertici $n$ è \textbf{not} colorato.

src_ioqm_2025_sep07__Q29

Circle S radius 10; S1 and S2 touch S internally and meet each other at two points A,B; angle OAB=90°; sum of radii

Let $S$ be a circle of radius 10 with centre $O$. Suppose $S_1$ and $S_2$ are two circles which touch $S$ internally and intersect each other at two distinct points $A$ and $B$. If $\angle OAB=90^{\circ }$ what is the sum of the radii of $S_1$ and $S_2$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Radio S del cerchio 10; S1 e S2 toccano S internamente e si incontrano a due punti A, B; angolo OAB=90°; somma dei raggi

Il $S$ deve essere un cerchio di raggio 10 con il centro $O$. Supponiamo che $S_1$ e $S_2$ siano due cerchi che toccano $S$ internamente e si incrociano a due punti distinti $A$ e $B$. Se $\angle OAB=90^{\circ }$, qual è la somma dei raggi di $S_1$ e $S_2$?

Risposta: 10 src_ioqm_2025_sep07__Q30