Isosceles trapezoid ABCD in xy-plane; find a^b
Let be a quadrilateral in the -plane with parallel to and . Suppose , , and . Determine the value of .
Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Isosceles trapezoide ABCD in piano xy; trovare a^b
Che sia un quadrilaterale nel piano con parallelo a e . Supponiamo , , e . Determinare il valore di .
Functional equation on positive integers; find all n with f(f(n))=99
A function is defined on the set of positive integers such that if is an odd integer, and if is an even integer, . Determine the sum of all possible values of such that .
Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Equazione funzionale su numeri interi positivi; trovare tutti n con f(f(n))=99
Una funzione è definita sull’insieme di integri positivi in modo tale che se è un intero odd, e se è un intero pari, . Determinare la somma di tutti i possibili valori di in modo tale che .
Count positive integers n ≤ 100 with no prime factor other than 2 or 3
Find the number of positive integers less than or equal to 100 such that is not divisible by any prime number other than 2 or 3.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Contare i numeri interi positivi n ≤ 100 senza fattore primo diverso da 2 o 3
Trova il numero di integri positivi inferiore o uguale a 100 in modo tale che non sia divisibile da nessun numero primo diverso da 2 o 3.
Cubical dice faces 2^0,…,2^5; two stacked; max sum of 9 visible; sum of squares of digits
The six faces of a cubical die are numbered with in such a way that the product of the numbers on any pair of opposite faces is . Two such dice are stacked one on top of another. If is the greatest possible sum of the 9 visible numbers (for all such arrangements of dice), find the sum of the squares of the digits of .
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Dei dadi cubici rivolti a 2^0,…,2^5; due a pietra; somma massima di 9 visibili; somma dei quadrati di cifre
Le sei facce di un dado cubico sono numerate con in modo tale che il prodotto dei numeri su qualsiasi coppia di facce opposte sia . Due di questi dadi sono impilati uno sopra l’altro. Se è la somma più grande possibile dei 9 numeri visibili (per tutti tali disegni di dadi), trovare la somma dei quadrati delle cifre di .
Coefficient of x^2025 in product; remainder mod 100
Let be the coefficient of in the expansion of What is the remainder when is divided by 100?
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
*Coefficiente di x^2025 in prodotto; restante mod 100 *
Che sia il coefficiente di nell’espansione di Qual è il rimanente quando è diviso per 100?
Four distinct primes sum to 240, none greater than 70; find smallest
The sum of four distinct prime numbers is 240. If none of the four primes is greater than 70, what is the smallest of the four numbers?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
*Quattro numeri primi distinti sommano a 240, nessuno più grande di 70; trovare il più piccolo *
La somma di quattro numeri primi distinti è 240. Se nessuno dei quattro numeri primi è più grande di 70, quale è il più piccolo dei quattro numeri?
Count positive integers n ≤ 100 divisible by all i with i^3 ≤ n
How many positive integers are divisible by all positive integers such that ?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
*Contare i numeri interi positivi n ≤ 100 divisibili per tutti i con i^3 ≤ n *
Quanti integri positivi sono divisibili da tutti gli integri positivi in modo tale che ?
Fill 2×3 grid with 1–6 so adjacent cells are coprime; count ways
Consider a rectangle made of 6 unit squares. In how many ways can we fill up the six cells using the numbers , one in each cell, such that any two numbers in adjacent cells (that is, in cells that share a common side) are coprime to each other?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Fill 2×3 grid con 16 in modo che le celle adiacenti siano coprime; contare modi
Considerate un rettangolo costituito da 6 unità quadrate. In quanti modi possiamo riempire le sei celle utilizzando i numeri , uno in ogni cella, in modo che qualsiasi numero in celle adiacenti (cioè in celle che condividono un lato comune) sia coprimo l’uno dell’altro?
Largest integer n so a square of side n fits inside a disc of area 1000
Find the largest integer such that a square of side length is contained in a circular disc of area 1000.
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Il più grande numero intero n in modo che un quadrato di lato n si inserisca all’interno di un disco di area 1000
Trova il più grande intero in modo tale che un quadrato di lunghezza laterale sia contenuto in un disco circolare di area 1000.
Largest positive integer n with alternating sum of squares < 100
Find the largest positive integer for which the inequality holds.
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Nel più piccolo intero positivo con somma alterna di quadrati < 100
Trovare il più grande intero positivo per il quale la disuguaglianza è valida.
5(2m+1)(2m+3)(2m+5) = six-digit ababab; find m+a+b
Let be a positive integer satisfying the equation where and represent different digits and is a six digit number. What is the value of ?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
5(2m+1)(2m+3)(2m+5) = ababab a sei cifre; trovare m+a+b
Let essere un intero positivo che soddisfi l’equazione dove e rappresentano cifre diverse e è un numero di sei cifre. Qual è il valore di ?
Count ordered pairs (m,n) ≤ 20000 with m²+n⁴ a power of 2
Find the numbers of ordered pairs where and are positive integers less than or equal to 20000 such that is a power of 2.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Contare le coppie ordinate (m,n) ≤ 20000 con m2+n4 a potenza di 2
Trova i numeri delle coppie ordinate dove e sono interi positivi inferiori o uguali a 20000 in modo che sia una potenza di 2.
Convex quadrilateral, diagonals 12 and 16, midpoint segments equal; max area
In a convex quadrilateral , the lengths of the diagonals are 12 and 16 and the line segments joining the midpoints of the opposite sides are of equal length. What is the maximum possible area of the quadrilateral ?
Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF
Quadrilaterali convex, diagonali 12 e 16, segmenti di punto medio uguali; superficie massima
In un quadrilaterale converso , le lunghezze dei diagonali sono 12 e 16 e i segmenti di linea che uniscono i punti di mezzo dei lati opposti sono di uguale lunghezza. Qual è la superficie massima possibile del quadrilaterale ?
Square ABCD side 1 as chord of circle; tangent from C has length 2; find d²
The side of a square is 1 and it is also a cord of a circle . The side does not intersect . The length of the tangent , drawn from to at the point is 2. If is the diameter of , then calculate .
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Sito ABCD quadrato 1 come corda di cerchio; tangente da C ha lunghezza 2; trovare d2
Il lato di un quadrato è 1 ed è anche un cordone di un cerchio . Il lato non interseca . La lunghezza della tangente , tratta da a al punto è di 2. Se è il diametro di , calcolare .
Positive integers satisfying 17(abcd+ab+ad+cd+1)=20(bcd+b+d); find a²+b²+c²+d²
If are positive integers such that find .
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Tanti interi positivi che soddisfano 17 ((abcd+ab+ad+cd+1) = 20 ((bcd+b+d); trovare a2+b2+c2+d2
Se sono integri positivi tale che trovi .
Continued fraction equation; find sum of x_1+…+x_7
If where are positive integers, find .
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: skill_manipolazione_algebrica, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Equazione di frazione continua; trovare la somma di x_1+…+x_7
Se dove sono numeri interi positivi, trovare .
Minimum cards to draw guaranteeing product divisible by 6
There are 100 cards in a box which are numbered from 1 to 100. While being blindfolded, Mainak is going to draw one or more cards from the box. After that, he will remove his blindfold and multiply together the numbers on these cards. Mainak wants the product of the numbers on the cards drawn to be a multiple of 6. How many cards does he need to draw to make sure that this will happen?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Minimum di carte da disegnare per il prodotto di garanzia divisibile per 6
Ci sono 100 carte in una scatola che sono numerate da 1 a 100. Mentre è legato gli occhi, Mainak sta per disegnare una o più carte dalla scatola. Dopo di che, toglierà la benda e moltiplicerà insieme i numeri su queste carte. Mainak vuole che il prodotto dei numeri sulle carte disegnate sia un multiple di 6. Quante carte deve disegnare per assicurarsi che questo accada?
Grid paths from (0,0) to (7,12) avoiding points with both coordinates odd
In the plane let the positive end of the -axis be directed towards East and the positive end of the -axis be directed towards North. Suppose you are at and you want to go to . At every move you are allowed to move unit length towards East or unit length towards North from your current position but you are not allowed to visit any point where both are odd. Find the number of such paths .
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Cosci di griglia da (0,0) a (7,12) evitando punti con entrambe le coordinate odd
Nel piano, la fine positiva dell’asse deve essere diretta verso est e la fine positiva dell’asse deve essere diretta verso nord. Supponiamo che tu sia a e che tu voglia andare a . Ad ogni mossa è consentito spostare la lunghezza unità verso est o la lunghezza unità verso nord dalla posizione attuale, ma non è consentito visitare alcun punto in cui entrambe le sono odd. Trova il numero di tali percorsi .
Count ordered pairs (m,n) with 1≤m<n≤50 and mn a perfect square
Find the number of ordered pairs where and are positive integers such that and the product is a perfect square.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
*Contare le coppie ordinate (m,n) con 1 ≤ m < n ≤ 50 e mn un quadrato perfetto *
Trova il numero di coppie ordinate dove e sono integri positivi in modo tale che e il prodotto sia un quadrato perfetto.
Four-digit numbers with non-zero digits: a+c=bd and b+d=ac; count
How many four digit numbers , with non-zero digits in base 10, are there such that and ?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Numeri a quattro cifre con cifre non zero: a+c=bd e b+d=ac; conteggio
Quanti numeri a quattro cifre , con cifre non zero nella base 10, sono tali da e ?
f satisfies 4f(3-x)+3f(x)=x²; find f(27)-f(25) to nearest integer
Let be a function satisfying for any real . Find the value of to the nearest integer.
Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: skill_manipolazione_algebrica, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
f soddisfa 4f ((3-x) +3f ((x) = x2; trova f ((27)-f ((25)) al numero intero più vicino
sia una funzione che soddisfi per qualsiasi reale. Trova il valore di al numero intero più vicino.
Three girls, four stories; count valid like arrangements; find sum of squares of digits of n
Three girls , each read four stories and discuss which ones they like. No story is liked by all the three. For each of the three pairs of the girls, there is at least one story which is liked by the pair and not liked by the third. Let be the number of ways in which this is possible. Find the sum of the squares of the digits of .
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Tre ragazze, quattro piani; contare validi come accordi; trovare la somma dei quadrati di numeri di n
Tre ragazze , ognuna legge quattro storie e discute quali le piacciono. Nessuna storia piace a tutti e tre. Per ciascuna delle tre coppie di ragazze, c’è almeno una storia che piace alla coppia e non piace alla terza. sia il numero di modi in cui questo è possibile. Trova la somma dei quadrati delle cifre di .
Cevians from interior point P; BP/PE=5/2, CP/PF=7/3; find p+q where AP/PD=p/q
Let be a point in the interior of a triangle and let , , meet the sides , , in , , respectively. If where are natural numbers and , find .
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Ceviani dal punto interno P; BP/PE=5/2, CP/PF=7/3; trovare p+q dove AP/PD=p/q
Il deve essere un punto all’interno di un triangolo e , , devono incontrare i lati , , rispettivamente in , e . Se dove sono numeri naturali e , trovare .
Positive integers a,b with 4^a+4a²+4=b²; find maximum a+b
If and are positive integers satisfying , what is the maximum possible value of ?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
insieri interi positivi a,b con 4^a+4a2+4=b2; trovare il massimo a+b
Se e sono integri positivi che soddisfano , qual è il valore massimo possibile di ?
Count natural numbers n ≤ 10^5 with 7 | 2^n - n²
How many natural numbers are there such that ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Contare i numeri naturali n 10^5 con 7 . 2^n - n2
Quanti numeri naturali sono tali da ?
Triangle ABC; D midpoint of BC, O circumcenter, H orthocenter; ODH equilateral side 6; find a+b for area a√b
Let be a triangle, be the midpoint of side , be the circumcenter and be the orthocenter. If the triangle is equilateral with side length equal to 6 and the area of the triangle can be written as , where are positive integers and is not divisible by the square of any prime, find .
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Triangolo ABC; D punto medio di BC, O circumcenter, H orthocenter; ODH lato equilaterale 6; trovare a+b per l’area a√b
Che sia un triangolo, sia il punto medio del lato , sia il circondario e sia l’ortocentro. Se il triangolo è equilaterale con lunghezza laterale pari a 6 e l’area del triangolo può essere scritta come , dove sono interi positivi e non è divisibile per il quadrato di qualsiasi primo, trovare .
Ordered pairs (a,b): ab=406+11·lcm(a,b)+7·gcd(a,b); find minimum a+b
Consider the collection of all ordered pairs of positive integers and which satisfy What is the smallest possible value of ?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Estremalità, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Coppie ordinate (a,b): ab=406+11·lcm(a,b)+7·gcd(a,b); trovare il minimo a+b
Considera la raccolta di tutte le coppie ordinate di integri positivi e che soddisfano Qual è il minimo valore possibile di ?
10-member delegation photo line; shortest leftmost, tallest rightmost, exactly one valley; find a+b
There are 10 members in a delegation. No two of them have the same height. Let be the number of ways in which they can stand in a line for a photograph such that \begin{itemize} \item the leftmost person is the shortest, \item the rightmost person is the tallest, and \item in the line between the shortest and tallest person, there is exactly one person who is shorter than both of his immediate neighbours. \end{itemize} If can be written as where and are positive integers less than 100, find .
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Linea fotografica della delegazione di 10 membri; più breve a sinistra, più alto a destra, esattamente una valle; trovare a+b
Una delegazione ha 10 membri. Nessun di loro ha la stessa altezza. Lasciate essere il numero di modi in cui possono stare in fila per una fotografia in modo tale che \begin{itemize} \item la persona più sinistra è la più corta, \item la persona più destra è la più alta, e \item nella linea tra la persona più corta e la più alta, c’è esattamente una persona che è più corta di entrambi i suoi vicini immediati. \end{itemize} Se può essere scritto come dove e sono interi positivi inferiori a 100, trovare .
Isosceles triangle 13-13-10; incircle tangents parallel to sides form hexagon; find m+n+l
Let be an isosceles triangle with sides 13, 13 and 10. The tangents to the incircle, drawn parallel to the sides in the interior, intersect the sides in points which form a hexagon. If the area of the hexagon is , where are positive integers with and , what is ?
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Triangolo isosceles 13-13-10; tangenti incircoli paralleli ai lati formano esagoni; trovare m+n+l
Che sia un triangolo a uguali con i lati 13, 13 e 10. Le tangenti dell’incircolo, disegnate in parallelo ai lati all’interno, intersecano i lati nei punti che formano un esagono. Se l’area dell’esagono è , dove sono integri positivi con e , quale è ?
Regular dodecagon vertices coloured blue/red; no monochromatic equilateral triangle or square; find p+q
The vertices of a regular dodecagon (a polygon with 12 sides) are coloured either blue or red. Let be the number of all possible colourings such that no three points of the same colour form the vertices of an equilateral triangle, and no four points of the same colour form the vertices of a square. If can be written as where are two positive integers less than 100, find .
Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Vertici regolari del dodicagono colorati blu/rosso; nessun triangolo o quadrato equilaterale monocromatico; trovare p+q
I vertici di un dodicagono regolare (un poligono con 12 lati) sono colorati blu o rosso. sia il numero di tutti i colori possibili in modo tale che nessun tre punti dello stesso colore costituiscano i vertici di un triangolo equilaterale e nessun quattro punti dello stesso colore costituiscano i vertici di un quadrato. Se può essere scritto come dove sono due numeri interi positivi inferiori a 100, trovare .