Japan EGMO Selection / Girls MO 2023

Find all prime pairs (p,q) with p≤q making a fraction an integer

Find all pairs $(p,q)$ of prime numbers with $p\le q$ such that $\frac{p^2-3q+q^2}{p+q}$ is an integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie prime (p,q) con p≤q che rende una frazione un numero intero

Trova tutte le coppie $(p,q)$ di numeri primi con $p\le q$ in modo tale che $\frac{p^2-3q+q^2}{p+q}$ sia un numero intero.

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Midpoint of PQ lies on circumcircle of ABC; orthocenter collinearity

Let $ABC$ be an acute triangle with orthocenter $H$. Take a point $P$ (different from $H$) on the circumcircle of $△AHB$, and a point $Q$ (different from $H$) on the circumcircle of $△AHC$, such that $P$, $H$, $Q$ are collinear in this order. Show that the midpoint of segment $PQ$ lies on the circumcircle of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il centro di PQ si trova sul circoncircolo di ABC; collinearità dell’ortocentro

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con il centro orto $H$. Prendi un punto $P$ (diverso da $H$) sul circoncircolo di $△AHB$, e un punto $Q$ (diverso da $H$) sul circoncircolo di $△AHC$, in modo tale che $P$, $H$, $Q$ siano collineari in questo ordine. Indicare che il punto medio del segmento $PQ$ si trova sul circoncircolo di $△ABC$.

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Place n² cards on n×n grid so adjacent cards have coprime values

Let $n\ge 2$ be an integer. There are $n^2$ cards labeled $1,2,\dots ,n^2$. For each integer $i$ with $1\le i\le n^2$, card $i$ has the number $\lfloor \frac{n^2}{i}\rfloor$ written on it. We wish to place one card in each cell of an $n\times n$ grid (one card per cell) such that the following condition holds:

For any two cells that share a side, the two numbers written on the cards placed in those cells are coprime.

Find all values of $n$ for which such an arrangement exists.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Posizionare le carte n2 sulla griglia n×n in modo che le carte adiacenti abbiano valori di coprime

$n\ge 2$ sia un numero intero. Ci sono carte $n^2$ etichettate $1,2,\dots ,n^2$. Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le n^2$, la scheda $i$ ha il numero $\lfloor \frac{n^2}{i}\rfloor$ scritto su di essa. Desideriamo inserire una carta in ogni cella di una griglia $n\times n$ (una carta per cella) in modo tale che la seguente condizione soddisfi:

Per due cellule che condividono un lato, i due numeri scritti sulle schede posizionate in quelle cellule sono coprim.

Trova tutti i valori di $n$ per i quali esiste un tale sistema.

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Sequence a_{n+1}=a_n·⌊a_n⌋; prove a_n=a_1 for all positive integers n

A sequence of positive real numbers $a_1,a_2,\dots$ satisfies $a_{n+1}=a_n\cdot \lfloor a_n\rfloor$ for all positive integers $n$. Prove that $a_n=a_1$ holds for all positive integers $n$.

(Here, for a real number $r$, $\lfloor r\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $r$. For example, $\lfloor 3.14\rfloor =3$ and $\lfloor 5\rfloor =5$.)

Topic: Algebra Metodo: Invarianti, Casework, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza a_{n+1}=a_n·a_n; dimostrare a_n=a_1 per tutti gli integri positivi n

Una sequenza di numeri reali positivi $a_1,a_2,\dots$ soddisfa $a_{n+1}=a_n\cdot \lfloor a_n\rfloor$ per tutti i numeri interi positivi $n$. Prova che $a_n=a_1$ vale per tutti gli integri positivi $n$.

(Qui, per un numero reale $r$, $\lfloor r\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $r$. Ad esempio, $\lfloor 3.14\rfloor =3$ e $\lfloor 5\rfloor =5$.)

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Minimum initial black cells to fill entire 10×10 grid by spreading

There is a $10\times 10$ grid of cells, some of which are initially colored black and the rest white. Consider the following operation: choose a white cell satisfying at least one of the two conditions below, and color it black.

\begin{itemize} \item The cell directly above and the cell directly below both exist and are both black. \item The cell directly to the left and the cell directly to the right both exist and are both black. \end{itemize}

When it is possible to make all cells black by repeating this operation finitely many times, find the minimum number of cells that must be initially colored black.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Minimum di cellule nere iniziali per riempire tutta la griglia 10×10 diffondendo *

C’è una griglia $10\times 10$ di cellule, alcune delle quali sono inizialmente di colore nero e il resto di colore bianco. Considerate la seguente operazione: scegliete una cella bianca che soddisfi almeno una delle due condizioni riportate di seguito e coloratela di colore nero.

La cella direttamente sopra e la cella direttamente sotto esistono e sono entrambi neri. \item La cella direttamente a sinistra e la cella direttamente a destra esistono e sono entrambi neri. # Finire #

Quando è possibile rendere tutte le cellule nere ripetendo questa operazione finitamente molte volte, trovare il numero minimo di cellule che devono essere inizialmente di colore nero.

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