Japan EGMO Selection / Girls MO 2024

Find all positive integer pairs with prime average and integer factorial ratio

Find all pairs of positive integers $(x,y)$ satisfying the following two conditions: \begin{itemize} \item The average of $x$ and $y$ is a prime number. \item $\frac{x!+y!}{x+y}$ is an integer. \end{itemize}

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi positivi con rapporto fattoriale di media primaria e numeri interi

Trova tutte le coppie di integri positivi $(x,y)$ che soddisfano le seguenti due condizioni: \begin{itemize} \item La media di $x$ e $y$ è un numero primo. \item $\frac{x!+y!}{x+y}$ è un numero intero. # Finire #

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Count circle arrangements guaranteeing B wins grid game

Let $n\ge 2$ be an integer. There is an $n\times n$ grid, and zero or more cells have a circle written in them. Players A and B play a game using this grid. The following operation is repeated $n-1$ times:

Player A chooses a row that has not been chosen before, and colors all cells in that row black. Then Player B chooses a column that has not been chosen before, and colors all cells in that column black.

After all operations are complete, if there exists a cell that is not colored black and contains a circle, then B wins; otherwise A wins. Find the number of ways to place circles such that B can guarantee a win regardless of A’s actions.

Note: arrangements that coincide by rotation or reflection are counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Armoni di cerchio di conte che garantiscono la vittoria della partita a griglia B

$n\ge 2$ sia un numero intero. C’è una griglia $n\times n$, e cero o più cellule hanno un cerchio scritto in esse. I giocatori A e B giocano con questa griglia. La seguente operazione è ripetuta $n-1$ volte:

Il giocatore A sceglie una riga che non è stata scelto prima e colora tutte le celle in quella riga in nero. Quindi il giocatore B sceglie una colonna che non è stata scelto prima e colora tutte le celle in quella colonna in nero.

Dopo che tutte le operazioni sono completate, se esiste una cella che non è di colore nero e contiene un cerchio, allora B vince; altrimenti A vince. Trova il numero di modi per posizionare cerchi in modo che B possa garantire una vittoria indipendentemente dalle azioni di A.

Nota: gli arrangiamenti che coincidono per rotazione o riflessione sono considerati come distinti.

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Find all real-valued functions satisfying a given functional equation

Find all functions $f$ defined on the real numbers and taking real values such that for all real numbers $x,y$, $f(f(x)+xy)=f(x)f(x+y).$

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni a valore reale che soddisfano una determinata equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni $f$ definite sui numeri reali e prendere valori reali in modo che per tutti i numeri reali $x,y$, $f(f(x)+xy)=f(x)f(x+y).$

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Find all integer n>=2 and strictly increasing positive integer sequences with divisibility condition

Find all integers $n\ge 2$ and all $n$-tuples of positive integers $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ satisfying the following three conditions: \begin{itemize} \item $a_1<a_2<\cdots <a_n$. \item $a_n$ is a prime number. \item For every integer $k$ with $1\le k\le n$, $a_k$ divides $a_1+a_2+\cdots +a_n$. \end{itemize}

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri interi n>=2 e stringente aumento delle sequenze di numeri interi positivi con condizione di divisibilità

Trova tutti gli integri $n\ge 2$ e tutti $n$-tupli di integri positivi $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ che soddisfano le seguenti tre condizioni: \begin{itemize} \item $a_1<a_2<\cdots <a_n$. \item $a_n$ è un numero primo. \item Per ogni numero intero $k$ con $1\le k\le n$, $a_k$ divide $a_1+a_2+\cdots +a_n$. # Finire #

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Prove two perpendiculars meet on circumcircle given concyclicity condition

Let $G$ be the centroid of triangle $ABC$, and let $M$, $N$ be the midpoints of sides $AB$, $AC$, respectively. Suppose that the four points $A$, $G$, $M$, $N$ are concyclic. Prove that the line through $A$ perpendicular to line $AG$ and the line through $G$ perpendicular to line $BC$ meet on the circumcircle of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che due perpendicolari si incontrano su un circoncircolo data condizione di conciclicità

Let $G$ essere il centroide del triangolo $ABC$, e let $M$, $N$ essere i punti medi dei lati $AB$, $AC$, rispettivamente. Supponiamo che i quattro punti $A$, $G$, $M$, $N$ siano conciclici. Prova che la linea attraverso $A$ perpendicolare alla linea $AG$ e la linea attraverso $G$ perpendicolare alla linea $BC$ si incontrano sul circoncircolo del triangolo $ABC$.

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