Japan EGMO Selection / Girls MO 2025

Minimum number of distinct values among 14 subset sums

Let $a,b,c,d$ be pairwise distinct positive real numbers. Among the following real numbers $a,b,c,d,a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d,$ $a+b+c,a+b+d,a+c+d,b+c+d,a+b+c+d$ the number of distinct values that appear was exactly $k$. Find the minimum possible value of $k$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum numero di valori distinti tra 14 somme del sottosetto

Lasciate che $a,b,c,d$ siano numeri reali positivi separati in coppia. Tra i seguenti numeri reali $a,b,c,d,a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d,$ $a+b+c,a+b+d,a+c+d,b+c+d,a+b+c+d$ il numero di valori distinti che appaiono è stato esattamente $k$. Trova il valore minimo possibile di $k$.

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Four points concyclic from orthocenter angle bisector and circumcircle

Let $ABC$ be an acute triangle satisfying $AB<AC$ and $\angle BAC=60^{\circ }$, and let $H$ be its orthocenter. Let $P$ be the intersection of the bisector of $\angle BHC$ with side $BC$. Among the intersection points of the perpendicular bisector of side $BC$ with the circumcircle of triangle $ABC$, let $M$ be the one lying on the same side of line $BC$ as $A$, and let $N$ be the one lying on the opposite side. Show that the four points $H$, $M$, $N$, $P$ lie on a single circle. Here, $XY$ denotes the length of the segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro punti conciclici dal bisettore e dal circoncircolo dell’angolo orthocentrico

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo acuto che soddisfi $AB<AC$ e $\angle BAC=60^{\circ }$, e lasciate che $H$ sia il suo centro orto. Il $P$ deve essere l’intersezione del bisettore di $\angle BHC$ con il lato $BC$. Tra i punti di intersezione del bisettore perpendicolare del lato $BC$ con il circoncircolo del triangolo $ABC$, $M$ sia quello che si trova sullo stesso lato della linea $BC$ come $A$, e $N$ sia quello che si trova sul lato opposto. Indicare che i quattro punti $H$, $M$, $N$, $P$ si trovano su un singolo cerchio. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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Find all positive integers n with n = phi(n) + 2 phi(phi(n))

Find all positive integers $n$ satisfying $n=\varphi (n)+2\varphi (\varphi (n)).$ Here, $\varphi (n)$ denotes the number of integers from $1$ to $n$ that are coprime to $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n con n = phi(n) + 2 phi(phi(n))

Trova tutti gli integri positivi $n$ che soddisfano $n=\varphi (n)+2\varphi (\varphi (n)).$ Qui, $\varphi (n)$ indica il numero di integri da $1$ a $n$ che sono coprime a $n$.

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Minimum stones left in box 1 after stone-moving operations

There are $2025$ boxes numbered $1,2,\dots ,2025$, and for each integer $i$ with $1\le i\le 2025$, box $i$ initially contains $2^{i-1}$ stones. The following operation is repeated.

Choose an integer $n\ge 2$ and integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ satisfying $1\le a_1<a_2<\cdots <a_n\le 2025$ such that for every integer $i$ with $2\le i\le n$, box $a_i$ contains at least one stone. Put $1$ stone into box $a_1$, and for each integer $i$ with $2\le i\le n$, remove one stone from box $a_i$.

When the state is reached in which no box other than box $1$ contains any stones, the operation is terminated. Find the minimum possible value of the number of stones in box $1$ when the operation has terminated.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Estremalità, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum di pietre lasciate nella casella 1 dopo le operazioni di spostamento delle pietre

Ci sono caselle $2025$ numerate $1,2,\dots ,2025$ e per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le 2025$, la casella $i$ contiene inizialmente le pietre $2^{i-1}$. Si ripete la seguente operazione.

Selezionare un intero $n\ge 2$ e un intero $a_1,a_2,\dots ,a_n$ che soddisfi $1\le a_1<a_2<\cdots <a_n\le 2025$ in modo tale che per ogni intero $i$ con $2\le i\le n$, la casella $a_i$ contenga almeno una pietra. Mettere la pietra $1$ nella casella $a_1$ e togliere una pietra dalla casella $a_i$ per ogni numero intero $i$ con $2\le i\le n$.

Quando si raggiunge lo stato in cui nessuna casella diversa dalla casella $1$ contiene pietre, l’operazione viene interrotta. Trova il valore minimo possibile del numero di pietre nella casella $1$ quando l’operazione è terminata.

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Functional equation involving the floor function

Find all functions $f$ defined on the reals and taking real values such that for all real numbers $x,y$, $f(x)f(f(x)+y)=f(x{)}^2+[x][y]$ holds. Here, for a real number $r$, $[r]$ denotes the greatest integer less than or equal to $r$; for example, $[3.14]=3$, $[5]=5$, $[-2.71]=-3$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale che coinvolge la funzione del pavimento

Trovare tutte le funzioni $f$ definite sui numeri reali e prendere valori reali in modo tale che per tutti i numeri reali $x,y$, $f(x)f(f(x)+y)=f(x{)}^2+[x][y]$ sia valido. Qui, per un numero reale $r$, $[r]$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $r$; ad esempio $[3.14]=3$, $[5]=5$, $[-2.71]=-3$.

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