Japan EGMO Selection / Girls MO 2026

Count border black cells in 100x100 grid with 2500 non-adjacent painted cells

In a $100\times 100$ grid of unit squares, 2500 cells are painted black. No two black cells share an edge or a corner (i.e., every two distinct black cells are non-adjacent, including diagonally). Among all black cells, count those lying in the 1st row, the 100th row, the 1st column, or the 100th column. Find all possible values of this count.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta le celle nere di confine in griglia 100x100 con 2500 celle dipinte non adiacenti

In una griglia $100\times 100$ di quadrati unitari, 2500 celle sono dipinte in nero. Nessuna delle due cellule nere condivide un bordo o un angolo (cioè ogni due cellule nere distinte non sono adiacenti, anche diagonalmente). Tra tutte le cellule nere, contate quelle che si trovano nella prima riga, nella 100a riga, nella 1a colonna o nella 100a colonna. Trova tutti i valori possibili di questo conteggio.

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Sequences of positive integers whose cumulative averages permute all positive integers

Let $a_1,a_2,\dots$ be a sequence of positive integers. For each positive integer $n$, define $b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}.$ Suppose that $b_1,b_2,\dots$ are all positive integers, and that $b_1,b_2,\dots$ is a permutation of the positive integers (i.e., every positive integer appears exactly once). Find all sequences $a_1,a_2,\dots$ having this property.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenze di integri positivi le cui medie cumulative permutevano tutti gli integri positivi

Che $a_1,a_2,\dots$ sia una sequenza di integri positivi. Per ogni intero positivo $n$, definire $b_n=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}.$ Supponiamo che $b_1,b_2,\dots$ siano tutti interi positivi, e che $b_1,b_2,\dots$ sia una permutazione degli interi positivi (cioè, ogni intero positivo appare esattamente una volta). Trova tutte le sequenze $a_1,a_2,\dots$ che hanno questa proprietà.

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Find all positive integer pairs (m,n) with 2^m = 8n^4 + n^2 - 1

Find all pairs $(m,n)$ of positive integers satisfying $2^m=8n^4+n^2-1.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di integri positivi (m,n) con 2^m = 8n^4 + n^2 - 1

Trova tutte le coppie $(m,n)$ di numeri interi positivi che soddisfano $2^m=8n^4+n^2-1.$

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Maximum n guaranteeing 0/1 satisfying assignment for all blackboard equality/inequality writings on 100 variables

For each pair of integers $(i,j)$ with $1\le i<j\le 100$, exactly one of the two statements "$x_i=x_j$" or "$x_i\ne x_j$" is written on a blackboard. One wishes to assign each of $x_1,x_2,\dots ,x_{100}$ a value of $0$ or $1$ so that all the statements on the blackboard are satisfied simultaneously. Find the maximum non-negative integer $n$ such that, regardless of which statements are written (one for each pair), one can always find an assignment of $0$s and $1$s to $x_1,\dots ,x_{100}$ satisfying all of them.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Colorazione, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massimo n garantendo 0/1 assegnamento soddisfacente per tutti gli scritti di parità/ineguaglianza su 100 variabili

Per ogni coppia di integri $(i,j)$ con $1\le i<j\le 100$, è scritta su una lavagna esattamente una delle due affermazioni "$x_i=x_j$" o "$x_i\ne x_j$". Si desidera assegnare a ciascuno di $x_1,x_2,\dots ,x_{100}$ un valore di $0$ o $1$ in modo che tutte le indicazioni sulla lavagna siano soddisfatte contemporaneamente. Trovare il numero intero massimo non negativo $n$ in modo tale che, indipendentemente dalle dichiarazioni scritte (una per ogni coppia), si possa sempre trovare una assegnazione di $0$s e $1$s a $x_1,\dots ,x_{100}$ che soddisfi tutte di esse.

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Circumcenters of ABC and PQR coincide; incircle tangency condition in acute triangle

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB<AC$. Let $O$ be the circumcenter of $△ABC$, and let $XY$ denote the length of segment $XY$. Let $J$ be the second intersection of line $AO$ (extended beyond $O$) with the circumcircle of $△BCJ$; more precisely, let $P$ be a point on segment $BC$ such that $A$, $O$, $P$ are collinear (i.e., $P$ is the foot of the $A$-altitude from $O$ to $BC$, or the intersection of line $AO$ with $BC$). On segment $BP$, choose a point $Q$ such that $AQ=AB$; on segment $CP$, choose a point $R$ such that $AR=AC$.

Prove that the circumcenter of $△ABC$ coincides with the circumcenter of $△PQR$.

Moreover, let $\omega$ be a circle tangent to segments $BC$, $AB$ (extended), and $AC$ (extended) — i.e., an excircle or the incircle of $△ABC$. The center of $\omega$ that is not the incenter is the center of the circumcircle of $△PQR$ as shown above.

Note: Based on the scanned Japanese source, the full statement is: Let $ABC$ be an acute triangle with $AB<AC$. Let $O$ be the circumcenter. Let $XY$ denote the length of segment $XY$. Let $J$ be the point on line $AO$ outside triangle $ABC$ (on the far side from $A$). Let $P$ be the point on segment $BC$ at which line $AO$ meets $BC$. On segment $BP$, let $Q$ be the point with $AQ=AB$; on segment $CP$, let $R$ be the point with $AR=AC$. Prove that the circumcenter of $△ABC$ and the circumcenter of $△PQR$ are the same point. In addition, the incircle of $△ABC$ is tangent to $BC$, to half-line $AB$, and to half-line $AC$; among the circles tangent to these three lines, those that are not the incircle have their centers shown to coincide with the circumcenter of $△PQR$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumcenti di ABC e PQR coincidono; condizione di tangenza incircolare in triangolo acuto

$ABC$ sia un triangolo acuto con $AB<AC$. $O$ deve essere il centro circundante di $△ABC$, e $XY$ deve indicare la lunghezza del segmento $XY$. Il $J$ deve essere la seconda intersezione della linea $AO$ (estesa oltre $O$) con il circoncircolo di $△BCJ$; più precisamente, $P$ deve essere un punto sul segmento $BC$ tale che $A$, $O$, $P$ siano collineari (cioè, $P$ è il piede dell’altitudine $A$ da $O$ a $BC$, o l’intersezione della linea $AO$ con $BC$). Nel segmento $BP$, scegli un punto $Q$ in modo da $AQ=AB$; nel segmento $CP$, scegli un punto $R$ in modo da $AR=AC$.

Prove che il circoncentro di $△ABC$ coincide con il circoncentro di $△PQR$.

Inoltre, $\omega$ sia un cerchio tangente ai segmenti $BC$, $AB$ (esteso) e $AC$ (esteso) , cioè un escircolo o l’incircolo di $△ABC$. Il centro di $\omega$ che non è l’incentro è il centro del circoncircolo di $△PQR$ come mostrato sopra.

**Nota:**Sulla base della fonte giapponese scansionata, la dichiarazione completa è: $ABC$ sia un triangolo acuto con $AB<AC$. Lasciate che $O$ sia il circondario. Il segmento $XY$ deve comprendere la lunghezza di $XY$. Il punto $J$ deve essere il punto sulla linea $AO$ del triangolo esterno $ABC$ (sul lato lontano da $A$). Il punto $P$ deve essere il punto del segmento $BC$ in cui la riga $AO$ incontra $BC$. Nel segmento $BP$, $Q$ sia il punto con $AQ=AB$; nel segmento $CP$, $R$ sia il punto con $AR=AC$. Prove che il centro circundante di $△ABC$ e il centro circundante di $△PQR$ sono lo stesso punto. Inoltre, l’incircolo di $△ABC$ è tangente a $BC$, a mezza linea $AB$ e a mezza linea $AC$; tra i cerchi tangenti a queste tre linee, quelli che non sono l’incircolo hanno i loro centri dimostrati di coincidere con il circumcenter di $△PQR$.

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