Japan Junior Mathematical Olympiad 2012 — Honsen (Final)

Pentagon with square base; prove triangle inscribed in circle

Let $ABCDE$ be a pentagon such that quadrilateral $ABCD$ is a square. Suppose $\angle AEC+\angle BED=180^{\circ }$. Prove that triangle $△AEC$ is an acute triangle. (A convex polygon is one in which all interior angles are less than $180^{\circ }$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Pentagono con base quadrata; prova triangolo inciso in cerchio

Che $ABCDE$ sia un pentagono tale che il quadrilaterale $ABCD$ sia quadrato. Supponiamo $\angle AEC+\angle BED=180^{\circ }$. Prova che il triangolo $△AEC$ è un triangolo acuto. (Un poligono converso è quello in cui tutti gli angoli interni sono inferiori a $180^{\circ }$.)

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7-digit multiples of 7 stable under all digit rearrangements

Let $n$ be a 7-digit number that is a multiple of $7$. Suppose that no matter how the digits of $n$ are rearranged, the resulting number is always a multiple of $7$. Find all such $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

moltipli a 7 cifre di 7 stabili sotto tutti i riordini a cifre

$n$ è un numero di 7 cifre che è un multiple di $7$. Supponiamo che non importa come i numeri di $n$ siano riordinati, il numero risultante è sempre un multiple di $7$. Trova tutte queste $n$.

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Grid stamping operation; find minimum a,b given N initial coins

Let $a,b$ be positive integers. Consider an $a\times b$ grid of cells, with $N$ cells initially containing a coin. The following operation may be performed any number of times:

Operation: Choose any row; if in that row exactly $1$ cell does not have a coin, place a coin in that cell.

Find, in terms of $N$, the minimum value of $a$ (with appropriate $b$) such that, for some initial placement of $N$ coins, one can eventually place a coin in every cell by repeatedly applying the operation.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

operazione di stampaggio della griglia; trovare il minimo a,b dato N monete iniziali

Lasciate che $a,b$ siano numeri interi positivi. Considera una griglia di celle $a\times b$, con celle $N$ che contengono inizialmente una moneta. La seguente operazione può essere eseguita in qualsiasi numero di volte:

Operazione: Scegli qualsiasi riga; se in quella riga esattamente la cella $1$ non ha una moneta, inserisci una moneta in quella cella.

Trovare, in termini di $N$, il valore minimo di $a$ (con appropriato $b$) in modo tale che, per alcuni posizionamenti iniziali di monete $N$, si possa infine inserire una moneta in ogni cella applicando ripetutamente l’operazione.

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Isosceles triangle, circumcenter construction; prove angle PMQ = 90°

Let $△ABC$ be an isosceles triangle with $\angle BAC=30^{\circ }$. Let $X$ be a point inside triangle $ABC$ such that $\angle XBC=\angle XCB=30^{\circ }$. On segment $BX$, take point $P$ such that $AP=BP$; on segment $CX$, take point $Q$ such that $AQ=CQ$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. Prove that $\angle PMQ=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles, costruzione circumcentrale; prova angolo PMQ = 90°

Che $△ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni con $\angle BAC=30^{\circ }$. Il punto $X$ deve essere un punto all’interno del triangolo $ABC$ tale che $\angle XBC=\angle XCB=30^{\circ }$. Per il segmento $BX$, prendere il punto $P$ in modo che $AP=BP$; per il segmento $CX$, prendere il punto $Q$ in modo che $AQ=CQ$. Il $M$ deve essere il punto medio di $BC$. Prove che $\angle PMQ=90^{\circ }$.

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Repeated card draws; find smallest n so k-th sum is always even

There are infinitely many cards, each labeled with a non-negative integer, and for each non-negative integer there are infinitely many cards carrying that number. From these cards, $2012$ cards are drawn (with replacement each time). This drawing operation is repeated. Find the smallest positive integer $n$ satisfying the following condition:

Condition: For every positive integer $k$, the sum of the numbers written on the $2012$ cards drawn at the $k$-th draw is always even.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Invarianti, Casework Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Segna di carte ripetute; trova la più piccola n in modo che la somma k-th sia sempre pari

Ci sono infinite carte, ognuna etichettata con un intero non negativo, e per ogni intero non negativo ci sono infinite carte con quel numero. Da queste carte vengono tratte le carte $2012$ (che vengono sostituite ogni volta). Questa operazione di disegno viene ripetuta. Trova il numero intero positivo più piccolo $n$ che soddisfa la seguente condizione:

**Condizione: ** Per ogni numero intero positivo $k$, la somma dei numeri scritti sulle carte $2012$ tirate al tiro $k$-th è sempre pari.

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