Japan Junior Mathematical Olympiad 2012 — Yosen (Preliminary)

Two people climb stairs at different rates; find possible stair counts

Person $A$ climbs $2$ steps at a time and person $B$ climbs $3$ steps at a time. However, both of them can also climb $1$ step at a time. The last step before the top must be climbed by both $A$ and $B$ in one step. When they climbed the staircase, the total number of steps taken by $A$ and $B$ together was $16$. Find all possible values for the number of stairs in the staircase.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Casi e conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 19, 20, 21, 22 Fonte: apri PDF

Due persone scalare le scale a velocità diverse; trovare possibili numeri di scale

La persona $A$ sale $2$ passi alla volta e la persona $B$ sale $3$ passi alla volta. Tuttavia, entrambi possono anche salire $1$ passo alla volta. L’ultimo passo prima della cima deve essere arrampicato da $A$ e $B$ in un solo passo. Quando sono salite le scale, il numero totale di passi compiuti da $A$ e $B$ insieme è stato $16$. Trova tutti i valori possibili per il numero di scale nella scala.

Risposta: 19, 20, 21, 22 src_jjmo10yq_yosen__Q01

Count palindromes at most 2012 with reversed-order equal original

A positive integer is called a palindrome if its digits read in reverse order give the same number (with no leading zeros). For example, $1234$ is not a palindrome since reading in reverse gives $4321$, which is not equal to $1234$. How many palindromes are there that are at most $2012$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 119 Fonte: apri PDF

Contare palindromi al massimo 2012 con ordine inverso uguale all’originale

Un numero intero positivo è chiamato palindromo se i suoi numeri letti in ordine inverso danno lo stesso numero (senza zeri principali). Ad esempio, $1234$ non è un palindromo poiché la lettura inversa dà $4321$, che non è uguale a $1234$. Quanti palindromi ci sono che sono al massimo $2012$?

Risposta: 119 src_jjmo10yq_yosen__Q02

Hexagon formed by squares on each side of triangle; find its area

On each side of triangle $ABC$, squares $PQBA$, $RSCB$, and $TUAC$ are constructed on the outside of the triangle. Given $AB=3$, $BC=4$, $CA=3$, find the area of the hexagon $PQRSTU$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $34+8\sqrt{5}$ Fonte: apri PDF

Esagono formato da quadrati su ciascun lato del triangolo; trovare la sua superficie

Su ciascun lato del triangolo $ABC$, i quadrati $PQBA$, $RSCB$ e $TUAC$ sono costruiti all’esterno del triangolo. Date $AB=3$, $BC=4$, $CA=3$, si trova l’area dell’esagono $PQRSTU$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 34+8\sqrt{5} src_jjmo10yq_yosen__Q03

Point E on side DA of quadrilateral; find length EC

Quadrilateral $ABCD$ has a point $E$ on side $DA$, with line $AB$ parallel to line $EC$. Given $AB=3$, $BC=3$, $CD=5$, $DE=3$, $EA=2$, find $EC$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{24}{5}$ Fonte: apri PDF

Punto E sul lato DA del quadrilaterale; troverà lunghezza EC

Il quadrilaterale $ABCD$ ha un punto $E$ sul lato $DA$, con la linea $AB$ parallela alla linea $EC$. Se $AB=3$, $BC=3$, $CD=5$, $DE=3$, $EA=2$, si trova $EC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \frac{24}{5} src_jjmo10yq_yosen__Q04

Count 4-tuples of positive integers with a+bcd=ab+cd

How many 4-tuples $(a,b,c,d)$ of positive integers satisfy $a+bcd=ab+cd$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 913 Fonte: apri PDF

Contare 4 doppi di numeri interi positivi con a+bcd=ab+cd

Quanti 4 tupli $(a,b,c,d)$ di numeri interi positivi soddisfano $a+bcd=ab+cd$?

Risposta: 913 src_jjmo10yq_yosen__Q05

Regular octagon with side 1; find area of quadrilateral AIGH

There is a regular octagon $ABCDEFGH$ with side length $1$. Let $I$ be the intersection of diagonals $AD$ and $BF$. Find the area of quadrilateral $AIGH$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ Fonte: apri PDF

*Octogono regolare con lato 1; trovare area di AIGH quadrilaterale *

C’è un ottagono regolare $ABCDEFGH$ con lunghezza laterale $1$. Il $I$ deve essere l’intersezione delle diagonali $AD$ e $BF$. Trova l’area del quadrilaterale $AIGH$.

Risposta: \frac{1+\sqrt{2}}{2} src_jjmo10yq_yosen__Q06

Count paths visiting 9 points on graph exactly once and returning to start

Starting from point $A$ in the figure below, a ball travels along the edges and visits each of the $9$ points exactly once before returning to $A$. How many such routes are there? (Assume the ball cannot stop partway along an edge.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 24 Fonte: apri PDF

Conta percorsi che visitano 9 punti del grafico esattamente una volta e ritornano al start

A partire dal punto $A$ nella figura seguente, una palla percorre i bordi e visita ciascuno dei punti $9$ esattamente una volta prima di tornare a $A$. Quante sono queste rotte? (Supponiamo che la palla non possa fermarsi a metà lungo un bordo.)

Risposta: 24 src_jjmo10yq_yosen__Q07

Count integers less than 10^6 divisible by 3 written on blackboard once each

All positive integers less than $10^6$ that are divisible by $3$ are each written once on a blackboard. Find the total count of the digit $1$ written on the blackboard.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 199998 Fonte: apri PDF

Contare numeri interi inferiori a 10^6 divisibili per 3 scritti sulla lavagna una volta ciascuno

Tutti i numeri interi positivi inferiori a $10^6$ divisibili da $3$ sono scritti una volta su una lavagna. Trova il numero totale della cifra $1$ scritta sulla lavagna.

Risposta: 199998 src_jjmo10yq_yosen__Q08

A and B each pick three 1-digit integers; count ways A’s product equals B’s sum

Person $A$ chooses $3$ one-digit positive integers (repetition allowed, but not the same triple as another choice). Person $B$ also chooses $3$ one-digit positive integers in the same way. The product of $A$‘s three numbers equals the sum of $B$‘s three numbers, and the sum of $A$‘s three numbers equals the product of $B$‘s three numbers. How many ways can they arrange their choices? (Triples that are rearrangements of each other are considered the same.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7 Fonte: apri PDF

A e B scelgono ciascuno tre integri a 1 cifra; contano i modi in cui il prodotto di A è uguale alla somma di B

La persona $A$ sceglie $3$ interi positivi a una cifra (la ripetizione è consentita, ma non lo stesso triplo di un’altra scelta). La persona $B$ sceglie anche $3$ integri positivi a una cifra nello stesso modo. Il prodotto dei tre numeri di $A$ è pari alla somma dei tre numeri di $B$, e la somma dei tre numeri di $A$ è pari al prodotto dei tre numeri di $B$. Quanti modi possono organizzare le loro scelte? (Le triples che sono riorganizzazioni l’una dell’altra sono considerate le stesse.)

Risposta: 7 src_jjmo10yq_yosen__Q09

Count n<=999 such that S(n)/S(n+1) is an integer

For a positive integer $k$, let $S(k)$ denote the sum of its digits. Find the number of positive integers $n\le 999$ such that $\frac{S(n)}{S(n+1)}$ is an integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 17 Fonte: apri PDF

Conta n<=999 tale che S(n)/S(n+1) sia un intero

Per un intero positivo $k$, $S(k)$ indica la somma delle sue cifre. Trova il numero di interi positivi $n\le 999$ in modo tale che $\frac{S(n)}{S(n+1)}$ sia un intero.

Risposta: 17 src_jjmo10yq_yosen__Q10

Count box dimensions a<=b<=c for a×b×c box built from unit cubes with equal unpainted count

Unit cubes are assembled into an $a\times b\times c$ ($a,b,c$ positive integers) rectangular box. Each unit cube on the surface of the box is painted. The number of unit cubes that are not painted equals the number of unit cubes on the surface that are painted. Find the number of triples $(a,b,c)$ with $a\le b\le c$ satisfying this condition. (Triples that are merely rearrangements of each other are counted as one.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 20 Fonte: apri PDF

Dimensioni della scatola di conte a<=b<=c per una scatola di conte a×b×c costruita a partire da cubetti unitari con un conto non dipinto uguale

I cubetti unitari sono assemblati in una scatola rettangolare $a\times b\times c$ ($a,b,c$ numeri interi positivi). Ogni cubo unitario sulla superficie della scatola è dipinto. Il numero di cubetti unitari non dipinti è uguale al numero di cubetti unitari sulla superficie dipinti. Trova il numero di triples $(a,b,c)$ con $a\le b\le c$ che soddisfano questa condizione. (I triples che sono semplicemente riorganizzazioni l’uno dell’altro sono contati come uno.)

Risposta: 20 src_jjmo10yq_yosen__Q11

Circle X inscribed in quadrilateral PQRS; find radius of circle X given radii of A,B,C,D

Circle $X$ is inscribed in quadrilateral $PQRS$. Also, circles $A$, $B$, $C$, $D$ are each tangent to three of the lines obtained by extending the sides of quadrilateral $PQRS$, as shown in the figure. The radii of circles $A$, $B$, $C$, $X$ are $2$, $1$, $4$, $3$ respectively. Find the radius of circle $D$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Circolo X inserito nel PQRS quadrilaterale; trovare il raggio del circolo X dato i raggi di A,B,C,D

Il cerchio $X$ è inciso nel quadrilaterale $PQRS$. Inoltre, i cerchi $A$, $B$, $C$, $D$ sono ciascuna tangente a tre delle linee ottenute estendendo i lati del quadrilaterale $PQRS$, come mostrato nella figura. I raggi dei cerchi $A$, $B$, $C$, $X$ sono rispettivamente $2$, $1$, $4$ e $3$. Trova il raggio del cerchio $D$.

Risposta: 8 src_jjmo10yq_yosen__Q12