Japan Junior Mathematical Olympiad 2013 — Honsen (Final)

Max number of the 12 sums/products equal to 1

There are four distinct positive real numbers $a,b,c,d$. Among the following 12 expressions $a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d,$ $ab,ac,ad,bc,bd,cd,$ find the largest possible number of them whose value is equal to $1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nombre massimo delle 12 somme/prodotti pari a 1

Ci sono quattro numeri reali positivi distinti $a,b,c,d$. Tra le seguenti 12 espressioni $a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d,$ $ab,ac,ad,bc,bd,cd,$ trovi il maggior numero possibile di esse il cui valore è uguale a $1$.

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Game pouring milk and tea to make two good milk teas

A cup containing $x$ grams of milk and $y$ grams of black tea is called a good milk tea if $y>0$ and $\frac{y}{x+y}>\frac{3}{5}$.

Now there are $3$ empty cups. Player A and player B, with A going first, alternately perform the following operations:

• A’s operation: pour a total of $60$ grams of milk into some of the cups.
• B’s operation: pour a total of $60$ grams of black tea into some of the cups, then choose one of the $3$ cups and empty its contents.

B’s goal is to make two of the cups be good milk tea at the same time. Regardless of B’s actions, can A keep preventing B from achieving this goal forever?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di versare latte e tè per fare due buoni tè di latte

Una tazza contenente $x$ grammi di latte e $y$ grammi di tè nero si chiama buon tè al latte se $y>0$ e $\frac{y}{x+y}>\frac{3}{5}$.

Ora ci sono coppe vuote. Il giocatore A e il giocatore B, con A al primo posto, eseguono alternativamente le seguenti operazioni:

• Operazione A: versare un totale di $60$ grammi di latte in alcune tazze. - L’operazione B: versare un totale di $60$ grammi di tè nero in alcune tazze, scegliere poi una delle tazze $3$ e svuotare il contenuto.

L’obiettivo di B e’ quello di rendere due tazze di tè buono allo stesso tempo. Indipendentemente dalle azioni di B, A può continuare a impedire a B di raggiungere questo obiettivo per sempre?

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Find positive integer triples from cyclic gcd system

For positive integers $x,y$, let $\gcd (x,y)$ denote the greatest common divisor of $x$ and $y$. Find all triples of positive integers $(a,b,c)$ satisfying $a=\gcd (b^2+1,c^2+1),b=\gcd (c^2+1,a^2+1),c=\gcd (a^2+1,b^2+1).$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i triplici interi positivi dal sistema ciclico gcd

Per gli integri positivi $x,y$, $\gcd (x,y)$ indichi il più grande divisore comune di $x$ e $y$. Trova tutti i triples di numeri interi positivi $(a,b,c)$ soddisfaci $a=\gcd (b^2+1,c^2+1),b=\gcd (c^2+1,a^2+1),c=\gcd (a^2+1,b^2+1).$

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Express angle HJK using angle BCA in acute triangle

There is an acute triangle $ABC$ with $AB<AC$, whose orthocenter and incenter are $H$ and $I$ respectively. A point $J$ on side $AB$ and a point $K$ on side $BC$ satisfy $\angle HIK=90^{\circ }$ and $AC=AJ+CK$. Express $\angle HJK$ in terms of $\angle BCA$. Here, $XY$ denotes the length of the segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Espresso angolo HJK utilizzando angolo BCA nel triangolo acuto

C’è un triangolo acuto $ABC$ con $AB<AC$, il cui centro ortocentrico e incentrico sono rispettivamente $H$ e $I$. Un punto $J$ sul lato $AB$ e un punto $K$ sul lato $BC$ soddisfano $\angle HIK=90^{\circ }$ e $AC=AJ+CK$. Esprimere $\angle HJK$ in termini di $\angle BCA$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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Min total surveillance to suppress any rebellion of n

Let $n,N$ be positive integers with $2n\le N$. A certain country has $N$ citizens, and to suppress rebellions it uses the following method:

• Each citizen surveils a certain number of the other citizens.
• When some of the citizens stage a rebellion, each citizen who did not rebel can arrest at most one of the citizens whom they surveil among those who rebelled.
• If all the citizens who rebelled are arrested, then that rebellion is suppressed.

For all citizens, the number of citizens each one surveils was examined and these numbers were summed, giving $K$. Moreover, for any rebellion staged by at most $n$ citizens, there always exists a way to suppress it. Find the smallest possible value that $K$ can take. Note that even if citizen $A$ surveils citizen $B$, it is not necessarily the case that citizen $B$ surveils citizen $A$.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Min sorveglianza totale per sopprimere qualsiasi ribellione di n

$n,N$ siano integri positivi con $2n\le N$. Un determinato paese ha $N$ cittadini, e per sopprimere le ribellioni utilizza il seguente metodo:

• Ogni cittadino sorveglia un certo numero di altri cittadini. - Quando alcuni cittadini organizzano una rivolta, ogni cittadino che non si è ribellato può arrestare al massimo uno dei cittadini che sono sotto controllo tra quelli che si sono ribellati. - Se tutti i cittadini che si sono ribellati vengono arrestati, allora quella ribellione è soppressa.

Per tutti i cittadini è stato esaminato il numero di cittadini per ciascun sondaggio e questi numeri sono stati sommati, dando $K$. Inoltre, per ogni ribellione organizzata da cittadini di almeno 1 MSK, esiste sempre un modo per sopprimere tale ribellione. Trova il valore più piccolo possibile che $K$ può assumere. Si noti che anche se il cittadino $A$ sorveglia il cittadino $B$, non è necessariamente il caso che il cittadino $B$ sorvegli il cittadino $A$.

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