Japan Junior Mathematical Olympiad 2013 — Yosen (Preliminary)

Area of parallelogram from rectangle line intersections

In rectangle $ABCD$ there is a point $P$ on side $AB$ and a point $R$ on side $CD$ such that $AP=2,PB=1,BC=4,CR=2,RD=1,DA=4.$ Let $Q$ be the intersection of line $BR$ with line $CP$, and let $S$ be the intersection of line $AR$ with line $DP$. Find the area of quadrilateral $PQRS$. Here $\overline{XY}$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 8/3 Fonte: apri PDF

L’area del parallelo da intersezioni di linee rettangolari

Nel rettangolo $ABCD$ c’è un punto $P$ sul lato $AB$ e un punto $R$ sul lato $CD$ in modo tale che $AP=2,PB=1,BC=4,CR=2,RD=1,DA=4.$ $Q$ sia l’intersezione della linea $BR$ con la linea $CP$, e $S$ sia l’intersezione della linea $AR$ con la linea $DP$. Trova l’area del quadrilaterale $PQRS$. Qui $\overline{XY}$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 8/3 src_jjmo11yq_yosen__Q01

Find ten distinct integers from 1-20 with given product

From the integers between $1$ and $20$ inclusive, $10$ mutually distinct numbers were chosen, and the product of those $10$ numbers turned out to be $45405360000$. State the $10$ chosen numbers. The order of the $10$ numbers does not matter.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20 Fonte: apri PDF

Ricerca dieci numeri interi distinti da 1 a 20 con un prodotto dato

Tra i numeri interi tra $1$ e $20$ inclusi, sono stati scelti numeri $10$ reciprocamente distinti e il prodotto di tali numeri $10$ è risultato essere $45405360000$. Indicare i numeri scelti $10$. L’ordine dei numeri $10$ non importa.

Risposta: 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20 src_jjmo11yq_yosen__Q02

Angle in cyclic heptagon with five equal sides

A heptagon $PABCDEF$ is inscribed in a circle, and $AB=BC=CD=DE=EF$ holds. If $\angle PAB=100^{\circ }$ and $\angle PFE=120^{\circ }$, find $\angle FPA$. Here $\overline{XY}$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 200/3 degrees Fonte: apri PDF

Angolo in un eptagono ciclico con cinque lati uguali

Un eptagone $PABCDEF$ è inserito in un cerchio, e $AB=BC=CD=DE=EF$ si tiene. Se $\angle PAB=100^{\circ }$ e $\angle PFE=120^{\circ }$, trovare $\angle FPA$. Qui $\overline{XY}$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 200/3 degrees src_jjmo11yq_yosen__Q03

Count markings of star points with two marked per line

As shown below, $10$ points are arranged, and among them $5$ mutually distinct points are marked. Concerning the $5$ straight lines, each passing through $4$ of these $10$ points (the lines actually drawn as solid lines in the figure), it turned out that, for each line, the number of marked points among the $4$ points lying on it was exactly $2$. In total, how many such ways of marking are there? Note that markings coinciding under rotation or reflection are also counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Conteggio di segni di punti stellari con due segni per linea

Come mostrato di seguito, i punti $10$ sono disposti e tra loro $5$ sono contrassegnati punti reciprocamente distinti. Per quanto riguarda le linee rette $5$, ciascuna che attraversa $4$ di questi punti $10$ (le linee in realtà disegnate come linee solide nella figura), si è scoperto che, per ciascuna linea, il numero di punti segnati tra i punti $4$ che si trovano su di essa era esattamente $2$. In totale, quante sono queste modalità di marcatura? Si noti che anche i segni che coincidono sotto rotazione o riflessione sono considerati come distinti.

Risposta: 12 src_jjmo11yq_yosen__Q04

Ratio AE:EC in isosceles right triangle with 45-degree angle

There is an isosceles triangle $ABC$ in which $\angle BAC$ is a right angle. There is a point $D$ on side $BC$ and a point $E$ on side $CA$ with $\angle ADE=45^{\circ }$. Given $BD:DC=1:5$, find $AE:EC$. Here $\overline{XY}$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 13:5 Fonte: apri PDF

*Ratio AE:EC in triangolo rettangolare con angolo di 45 gradi *

C’è un triangolo di uguali dimensioni $ABC$ in cui $\angle BAC$ è un angolo retto. C’è un punto $D$ sul lato $BC$ e un punto $E$ sul lato $CA$ con $\angle ADE=45^{\circ }$. Se $BD:DC=1:5$ viene dato, si trova $AE:EC$. Qui $\overline{XY}$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 13:5 src_jjmo11yq_yosen__Q05

Smallest sum of three distinct integers whose product ends in 99

Let $a,b,c$ be three mutually distinct positive integers. Given that the last two digits of the product $abc$ are $99$, find the smallest possible value of $a+b+c$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 269 Fonte: apri PDF

La somma minore di tre integri distinti il cui prodotto termina in 99

$a,b,c$ siano tre integri positivi reciprocamente distinti. Poiché le ultime due cifre del prodotto $abc$ sono $99$, si trova il valore più piccolo possibile di $a+b+c$.

Risposta: 269 src_jjmo11yq_yosen__Q06

Two-coloring 100-gon vertices with perpendicular chords

Among the vertices of a regular $100$-gon, $2$ are colored red and $2$ are colored blue. How many ways are there to do this coloring satisfying the condition below? A vertex may not be colored with two colors at once, and colorings coinciding under rotation or reflection are also counted as distinct.

Condition: the line through the two red vertices and the line through the two blue vertices are perpendicular to each other.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 235250 Fonte: apri PDF

vertici di 100 goni a due colori con accordi perpendicolari

Tra i vertici di un normale $100$-gon, $2$ sono di colore rosso e $2$ sono di colore blu. Quanti modi ci sono per fare questo colorare soddisfacendo la condizione qui sotto? Un vertice non può essere colorato con due colori contemporaneamente, e i colori che coincidono sotto rotazione o riflessione sono anche contati come distinti.

Condizione: la linea attraverso i due vertici rossi e la linea attraverso i due vertici blu sono perpendicolari l’una all’altra.

Risposta: 235250 src_jjmo11yq_yosen__Q07

Count integer pairs making 201/a + 3/b an integer

How many pairs $(a,b)$ of positive integers are there such that $\frac{201}{a}+\frac{3}{b}$ is an integer?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 34 Fonte: apri PDF

Contare coppie di numeri interi che rendono 201/a + 3/b un numero intero

Quante coppie $(a,b)$ di numeri interi positivi esistono tali che $\frac{201}{a}+\frac{3}{b}$ sia un intero?

Risposta: 34 src_jjmo11yq_yosen__Q08

Count triples summing to 2013 each coprime to 2013

How many triples $(a,b,c)$ of positive integers are there such that $a+b+c=2013$ and each of $a,b,c$ is coprime to $2013$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 318600 Fonte: apri PDF

Conta triplici sommando al 2013 ogni coprimo fino al 2013

Quanti triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi sono tali che $a+b+c=2013$ e ciascuno di $a,b,c$ sia coprimo a $2013$?

Risposta: 318600 src_jjmo11yq_yosen__Q09

Minimal PQ for circles through hexagon vertex pairs

Consider a regular hexagon $ABCDEF$ with side length $1$. There is a circle passing through the two points $A$ and $C$, and a circle passing through the two points $B$ and $D$; these two circles intersect at a point $P$ and a point $Q$. Find the smallest possible value of the length of segment $PQ$. Here, the two circles are assumed to be distinct.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: (2/3)*sqrt(6) Fonte: apri PDF

PQ minimo per i cerchi attraverso coppie di vertici esagoni

Si consideri un esagono regolare $ABCDEF$ con lunghezza laterale $1$. C’è un cerchio che attraversa i due punti $A$ e $C$, e un cerchio che attraversa i due punti $B$ e $D$; questi due cerchi si incrociano a un punto $P$ e a un punto $Q$. Trovare il minimo valore possibile della lunghezza del segmento $PQ$. Qui, si presume che i due cerchi siano distinti.

Risposta: (2/3)*sqrt(6) src_jjmo11yq_yosen__Q10

Max of good cells minus bad cells in a grid

In each cell of a $101\times 101$ grid, a real number is written (numbers may repeat).

• If the real number written in a cell is greater than both the real number in the cell one to its right and the real number in the cell one above it, that cell is called a good cell. If there is no cell to its right or above, it is not a good cell.
• If the real number written in a cell is smaller than both the real number in the cell one to its right and the real number in the cell one above it, that cell is called a bad cell. If there is no cell to its right or above, it is not a bad cell.

Note that a cell may be a good cell and a bad cell at the same time. What is the largest possible value of (number of good cells) $-$ (number of bad cells)?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5050 Fonte: apri PDF

Max di cellule buone meno cellule cattive in una griglia

In ogni cella di una griglia $101\times 101$ viene scritto un numero reale (i numeri possono ripetersi).

• Se il numero reale scritto in una cella è maggiore del numero reale nella cella a destra e del numero reale nella cella sopra di essa, quella cella viene chiamata buona cella. Se non c’è una cellula a destra o sopra, non è una buona cellula. - Se il numero reale scritto in una cella è più piccolo del numero reale nella cella a sua destra e del numero reale nella cella sopra di essa, quella cella viene chiamata cella cattiva. Se non c’è una cella a destra o sopra, non è una cella cattiva.

Si noti che una cellula può essere una cellula buona e una cattiva allo stesso tempo. Qual è il valore più grande possibile di (numero di cellule buone) $-$ (numero di cellule cattive)?

Risposta: 5050 src_jjmo11yq_yosen__Q11

Perimeter of union of 2013 unit circles

In the plane there is a circle of radius less than $1$. On the circumference of this circle, $2013$ mutually distinct points are taken, and a circle of radius $1$ centered at each of them is drawn. The boundary of the region consisting of all points contained in every one of these $2013$ unit circles had length $1$. Find the length of the boundary of the region consisting of all points contained in at least one of these $2013$ unit circles.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: 4*pi - 1 Fonte: apri PDF

Perimetro di unione dei cerchi unitari 2013

Nel piano c’è un cerchio di raggio inferiore a $1$. Sulla circonferenza di questo cerchio, si prendono i punti $2013$ reciprocamente distinti e si disegna un cerchio di raggio $1$ centrato su ciascuno di essi. Il confine della regione costituita da tutti i punti contenuti in ciascuno di questi cerchi unitari $2013$ aveva lunghezza $1$. Trova la lunghezza del confine della regione costituita da tutti i punti contenuti in almeno uno di questi cerchi unitari $2013$.

Risposta: 4*pi - 1 src_jjmo11yq_yosen__Q12