Japan Junior Mathematical Olympiad 2014 — Honsen (Final)

Find all integers n≥2 whose small divisors satisfy d² | n

Find all integers $n\ge 2$ satisfying the following condition.

\textit{Condition:} For every positive divisor $d$ of $n$ with $d\le \sqrt{n}$, $d^2$ divides $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Trova tutti gli enti n ≥2 i cui piccoli divisori soddisfano d2 n *

Trova tutti gli enti $n\ge 2$ che soddisfano la seguente condizione.

\textit{Condition:} Per ogni divisore positivo $d$ di $n$ con $d\le \sqrt{n}$, $d^2$ divide $n$.

src_jjmo12mq_honsen__Q01

Prove A≤B for minimum consecutive ratios of 2n positive rationals

Let $n$ be a positive integer. Let $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ be $2n$ positive rational numbers. Rearranging these in non-decreasing order gives $b_1\le b_2\le \cdots \le b_{2n}$. Define $A$ to be the minimum value among $\frac{a_2}{a_1},\frac{a_3}{a_2},\dots ,\frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}$, and $B$ to be the minimum value among $\frac{b_2}{b_1},\frac{b_3}{b_2},\dots ,\frac{b_{2n}}{b_{2n-1}}$. Prove that $A\le B$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove A≤B per i rapporti minimi consecutivi di 2n razionali positivi

$n$ sia un numero intero positivo. $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ siano $2n$ numeri razionali positivi. Riordinarli in ordine non diminuente dà $b_1\le b_2\le \cdots \le b_{2n}$. Definire $A$ come valore minimo tra $\frac{a_2}{a_1},\frac{a_3}{a_2},\dots ,\frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}$ e $B$ come valore minimo tra $\frac{b_2}{b_1},\frac{b_3}{b_2},\dots ,\frac{b_{2n}}{b_{2n-1}}$. Prove che $A\le B$.

src_jjmo12mq_honsen__Q02

In triangle with ∠BAC=60°, reflection of A over PQ lies on BC

Let $ABC$ be a triangle with $\angle BAC=60^{\circ }$. Let $P$ be the intersection of the angle bisector of $\angle ABC$ with side $AC$, and let $Q$ be the intersection of the angle bisector of $\angle ACB$ with side $AB$. Prove that the reflection of $A$ over line $PQ$ lies on line $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Nel triangolo con BAC=60°, la riflessione di A su PQ si trova su BC

Che $ABC$ sia un triangolo con $\angle BAC=60^{\circ }$. Il $P$ è l’intersezione del bisettore angolare di $\angle ABC$ con il lato $AC$ e il $Q$ è l’intersezione del bisettore angolare di $\angle ACB$ con il lato $AB$. Prova che il riflesso di $A$ sulla linea $PQ$ si trova sulla linea $BC$.

src_jjmo12mq_honsen__Q03

Island-bridge graph: shelter assignment with parity conditions

Let $n\ge 2$ be an integer. There are $n$ islands arranged in a large lake, connected by some bridges; each bridge connects two islands directly. For any two islands, either they are connected by a bridge or they are not, and each bridge connects exactly two distinct islands. In order to prepare for a disaster, we decided to designate, for each island, one of the two islands at the ends of some bridge connected to that island as its designated shelter, with the condition that the bridge connecting an island directly to its shelter must exist. Each island must have at least one bridge connecting it to another island, and we choose the largest island as the shelter.

(1) Prove that if $n$ is odd, then there exists an island that cannot be chosen as a shelter for any island.

(2) Prove that if $n$ is even and there are more than $\frac{n^2}{4}$ bridges, then there exists an island that cannot be chosen as a shelter for any island.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework, Invarianti, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Grafico ponte-isola: assegnazione di rifugi con condizioni di parità

$n\ge 2$ sia un numero intero. Ci sono $n$ isole disposte in un grande lago, collegate da alcuni ponti; ogni ponte collega direttamente due isole. Per qualsiasi due isole, o sono collegate da un ponte o no, e ogni ponte collega esattamente due isole distinte. Per prepararci a un disastro, abbiamo deciso di designare, per ogni isola, una delle due isole alle estremità di un ponte collegato a quella isola come suo rifugio designato, a condizione che il ponte che collega un’isola direttamente al suo rifugio debba esistere. Ogni isola deve avere almeno un ponte che la collega ad un’altra isola, e scegliamo l’isola più grande come rifugio.

(1) Provare che se $n$ è strano, allora esiste un’isola che non può essere scelta come rifugio per nessuna isola.

(2) Prova che se $n$ è pari e ci sono più di $\frac{n^2}{4}$ ponti, allora esiste un’isola che non può essere scelta come rifugio per nessuna isola.

src_jjmo12mq_honsen__Q04

Find all positive integer pairs (n,k) with (n^n+n+2)/(n+1)²=2^k

Find all pairs of positive integers $(n,k)$ satisfying $\frac{n^n+n+2}{(n+1{)}^2}=2^k.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi positivi (n,k) con (n^n+n+2)/(n+1)2=2^k

Trova tutte le coppie di integri positivi $(n,k)$ soddisfacenti $\frac{n^n+n+2}{(n+1{)}^2}=2^k.$

src_jjmo12mq_honsen__Q05