Japan Junior Mathematical Olympiad 2014 — Yosen (Preliminary)

Two squares sharing a midpoint; find segment BF

There are two squares $ABCD$ and $MCEF$. Point $M$ is the midpoint of side $DA$, and points $D$ and $F$ lie on the same side with respect to line $CM$. When the length of segment $AB$ is $1$, find the length of segment $BF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{3}{2}\sqrt{2}$ Fonte: apri PDF

Due quadrati che condividono un punto medio; trovare segmento BF

Ci sono due quadrati $ABCD$ e $MCEF$. Il punto $M$ è il punto medio del lato $DA$ e i punti $D$ e $F$ si trovano sullo stesso lato rispetto alla linea $CM$. Quando la lunghezza del segmento $AB$ è $1$, trovare la lunghezza del segmento $BF$.

Risposta: $\frac{3}{2}\sqrt{2}$ src_jjmo12yq_yosen__Q01

Find n where exactly 3 of 4 statements about n are true

For a positive integer $n$ at most $500$, four people A, B, C, D say the following: A: ”$n$ is divisible by $2$ exactly $3$ times (i.e. $2^3\mid n$ but $2^4\nmid n$).” B: ”$n$ is divisible by $3$ exactly $2$ times.” C: ”$n$ is divisible by $7$ exactly $1$ time.” D: “The sum of the digits of $n$ is $15$.” Among these, the statements of three of them are correct and the remaining one is wrong. Find $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 168 Fonte: apri PDF

Trova n dove esattamente 3 delle 4 affermazioni su n sono vere

Per un intero positivo $n$ al massimo $500$, quattro persone A, B, C, D dicono quanto segue: A: ”$n$ è divisibile da $2$ esattamente $3$ volte (cioè $2^3\mid n$ ma $2^4\nmid n$).” B: ”$n$ è divisibile da $3$ esattamente $2$ volte.” C: ”$n$ è divisibile da $7$ esattamente $1$ tempo.” D: “La somma delle cifre di $n$ è $15$”. Trova $n$.

Risposta: 168 src_jjmo12yq_yosen__Q02

Count length-10 closed walks returning to center of 3x3 point grid

Starting from the center point of the figure below and moving along an edge to an adjacent point, this is repeated $10$ times so as to return to the center point. In how many ways can this be done? Here, it is allowed to move onto the center point partway through. (The figure is a $3\times 3$ array of points connected by horizontal and vertical edges of a grid.)

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 16384 Fonte: apri PDF

Lunghezza di conteggio-10 camminate chiuse che ritornano al centro della griglia a punti 3x3

Partendo dal punto centrale della figura di seguito e spostandosi lungo un bordo verso un punto adiacente, questo viene ripetuto $10$ volte in modo da tornare al punto centrale. In quanti modi si può farlo? Qui, è consentito spostarsi sul punto centrale a metà strada. (La figura è un array $3\times 3$ di punti collegati da bordi orizzontali e verticali di una griglia.)

Risposta: 16384 src_jjmo12yq_yosen__Q03

Cyclic pentagon with given sides; find diagonal BE

There is a cyclic pentagon $ABCDE$ with $AB=2$, $BC=5$, $CD=2$, $DE=5$, $AD=8$. Find the length of segment $BE$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{19}{2}$ Fonte: apri PDF

Pentagono ciclico con lati dati; trovare diagonale BE

C’è un pentagono ciclico $ABCDE$ con $AB=2$, $BC=5$, $CD=2$, $DE=5$, $AD=8$. Trova la lunghezza del segmento $BE$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: $\frac{19}{2}$ src_jjmo12yq_yosen__Q04

Max n so 1..n can be 2-colored with no monochromatic square sum

Let $n$ be a positive integer. On a blackboard, each of the integers from $1$ to $n$ is written exactly once, each colored either red or white. The sum of any two distinct numbers written in the same color is not a perfect square. Find the largest possible value of $n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Colorazione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 14 Fonte: apri PDF

Max n so 1..n può essere di 2 colori senza somma quadrata monocromatica

$n$ sia un numero intero positivo. Su una lavagna, ciascuno dei numeri interi da $1$ a $n$ viene scritto esattamente una volta, ognuno di colore rosso o bianco. La somma di due numeri distinti scritti nello stesso colore non è un quadrato perfetto. Trovare il valore più grande possibile di $n$.

Risposta: 14 src_jjmo12yq_yosen__Q05

Find all positive n with n+16 and 16n+1 both perfect squares

Find all positive integers $n$ such that both $n+16$ and $16n+1$ are perfect squares.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $33,105,1008$ Fonte: apri PDF

Trova tutte le n positive con n+16 e 16n+1 entrambi i quadrati perfetti

Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo che sia $n+16$ che $16n+1$ siano quadrati perfetti.

Risposta: $33,105,1008$ src_jjmo12yq_yosen__Q06

Count placements of six 1x2 boards with two covered cells per row/column

There is a $6\times 6$ grid. Six rectangular boards of dimensions $1\times 2$ are placed, each covering exactly $2$ cells, so that they do not overlap, in such a way that in every row and in every column exactly $2$ cells are covered by boards. In how many ways can this be done? Here, the six boards are indistinguishable, and placements that coincide under a rotation or reflection of the $6\times 6$ grid are counted as different.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 540 Fonte: apri PDF

Conteggio di sei tabelle 1x2 con due celle coperte per riga/colonna

C’è una griglia $6\times 6$. Sono disposte sei tavole rettangolari di dimensioni $1\times 2$, ciascuna coprendo esattamente le celle $2$, in modo che non si sovrappongano, in modo tale che in ogni riga e in ogni colonna le celle $2$ siano coperte esattamente da tavole. In quanti modi si può farlo? Qui, le sei tavole sono indistinguibili e le posizioni che coincidono sotto una rotazione o riflessione della griglia $6\times 6$ vengono contate come diverse.

Risposta: 540 src_jjmo12yq_yosen__Q07

Trapezoid with two right angles and given EF; find DG

There is a trapezoid $ABCD$ with $BC\parallel AD$, satisfying $AB=1$, $BC=1$, $CD=1$, $DA=2$. Let $M$ be the midpoint of side $BC$. There are two points $E$, $F$ on side $AD$ and a point $G$ on side $CD$ satisfying $\angle EMG=\angle FGM=90^{\circ }$ and $EF=\frac{3}{2}$. Find the length of segment $DG$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{7-\sqrt{33}}{8}$ Fonte: apri PDF

Trapezoide con due angoli retti e dato EF; trova DG

C’è un trapezoide $ABCD$ con $BC\parallel AD$, che soddisfa $AB=1$, $BC=1$, $CD=1$, $DA=2$. Il punto medio del lato $BC$ è $M$. Ci sono due punti $E$, $F$ sul lato $AD$ e un punto $G$ sul lato $CD$ che soddisfano $\angle EMG=\angle FGM=90^{\circ }$ e $EF=\frac{3}{2}$. Trova la lunghezza del segmento $DG$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: $\frac{7-\sqrt{33}}{8}$ src_jjmo12yq_yosen__Q08

Min pieces so any start can be reduced to one piece at the center

On a $55\times 55$ grid, one piece is placed on each of $n$ distinct cells. Regardless of the initial placement of the pieces, by repeating the operation below it is possible to reach a state in which a piece is placed on the central cell. Find the smallest value of $n$ for which this is possible. Operation: Choose one piece and fix a direction of movement among up, down, left, right. Then, as long as the next cell to move into is neither outside the grid nor a cell already occupied by a piece, repeatedly move the chosen piece one cell at a time in that direction.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Mini pezzi in modo che qualsiasi inizio possa essere ridotto a un pezzo al centro

Su una griglia $55\times 55$, un pezzo viene posizionato su ciascuna delle celle distinte $n$. Indipendentemente dal posizionamento iniziale dei pezzi, ripetendo l’operazione di seguito è possibile raggiungere uno stato in cui un pezzo viene posizionato sulla cella centrale. Trova il valore più piccolo di $n$ per il quale questo è possibile. Operazione: scegli un pezzo e fissa una direzione di movimento tra su, giù, sinistra, destra. Poi, finché la prossima cella in cui si deve spostare non è né fuori dalla griglia né una cella già occupata da un pezzo, spostare ripetutamente il pezzo scelto una cella alla volta in quella direzione.

Risposta: 3 src_jjmo12yq_yosen__Q09

Values of x^2/y+y^2/z+z^2/x up to 500 with gcd(x,y,z)=1

Let $x$, $y$, $z$ be positive integers whose greatest common divisor (of all three) is $1$. Find all values, among the integers at most $500$, that can be taken by $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $3,65,386$ Fonte: apri PDF

Valori di x^2/y+y^2/z+z^2/x fino a 500 con gcd(x,y,z) = 1*

Che $x$, $y$, $z$ siano integri positivi il cui più grande divisore comune (di tutti e tre) è $1$. Trova tutti i valori, tra i numeri interi al massimo $500$, che possono essere presi da $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}$.

Risposta: $3,65,386$ src_jjmo12yq_yosen__Q10

Count arrow assignments on 14 circle points with a functional-iteration condition

There are $14$ points on a circle. From each point, exactly one arrow is drawn pointing to one of the points, satisfying the condition below. In how many ways can the arrows be drawn? Here, a point may have its arrow pointing to itself, and configurations that coincide under a rotation or a reflection are counted as different. Condition: For every point, the point reached by starting at it and following the arrows $20$ times coincides with the point reached by starting at the point two places clockwise from it and following the arrows once.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 974 Fonte: apri PDF

Conteggi le assignazioni di frecce su 14 punti di cerchio con condizione di iterazione funzionale

Ci sono punti $14$ su un cerchio. Da ogni punto viene tracciata esattamente una freccia che punta su uno dei punti, soddisfacendo la condizione seguente. In quanti modi si possono tirare le frecce? Qui, un punto può avere la sua freccia che punta su se stesso, e le configurazioni che coincidono sotto una rotazione o un riflesso sono contate come diverse. Condizione: per ogni punto, il punto raggiunto partendo da esso e seguendo le frecce $20$ volte coincide con il punto raggiunto partendo dal punto due posti in senso orario da esso e seguendo le frecce una volta.

Risposta: 974 src_jjmo12yq_yosen__Q11

Circumradius of triangle ADY in terms of a,b,c

There is a triangle $ABC$ with $AB>AC$. Let $D$ be the intersection of the bisector of $\angle BAC$ with side $BC$. Furthermore, let $E$ and $F$ be the intersections of the perpendicular bisector of segment $AD$ with sides $AB$ and $AC$ respectively, and take a point $X$ on side $BC$ such that $BX:XC=BE:CF$. Also, let $Y$ be the intersection of the circumcircle of triangle $ABC$ with line $AX$ other than $A$, and set $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Express the radius of the circumcircle of triangle $ADY$ in terms of $a$, $b$, $c$. Here, $ZW$ denotes the length of segment $ZW$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{abc}{c^2-b^2}$ Fonte: apri PDF

Radio di circolo del triangolo ADY in termini di a,b,c

C’è un triangolo $ABC$ con $AB>AC$. Il $D$ deve essere l’intersezione del bisettore di $\angle BAC$ con il lato $BC$. Inoltre, $E$ e $F$ siano le intersezioni del bisettore perpendicolare del segmento $AD$ con i lati $AB$ e $AC$ rispettivamente, e prendere un punto $X$ sul lato $BC$ tale che $BX:XC=BE:CF$. Inoltre, $Y$ è l’intersezione del circoncircolo del triangolo $ABC$ con la linea $AX$ diversa da $A$, e imposta $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. Esprimere il raggio del circoncircolo del triangolo $ADY$ in termini di $a$, $b$, $c$. Qui $ZW$ indica la lunghezza del segmento $ZW$.

Risposta: $\frac{abc}{c^2-b^2}$ src_jjmo12yq_yosen__Q12