Japan Junior Mathematical Olympiad 2015 — Honsen (Final)

Cyclic quadrilateral, perpendicular line passes through circumcenter

Let $ABCD$ be a quadrilateral inscribed in a circle. Let $P$ be a point, different from $A$ and $B$, such that $\angle PAC=\angle PBD=90^{\circ }$. Prove that the line through $P$ perpendicular to $CD$ passes through the circumcenter of triangle $PAB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico, linea perpendicolare che attraversa il circondocentro

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale inciso in un cerchio. Il punto $P$ deve essere diverso da $A$ e $B$, in modo tale che $\angle PAC=\angle PBD=90^{\circ }$. Prove che la linea perpendicolare a$CD$passa attraverso il centro circostante del triangolo $PAB$.

src_jjmo13mq_honsen__Q01

Maximum of a two-variable rational expression

As $x,y$ range over all real numbers, find the maximum value of $\frac{(xy+x+y-1{)}^2}{(x^2+1)(y^2+1)}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Maximo espressione razionale a due variabili

Come $x,y$ intervallo su tutti i numeri reali, trovare il valore massimo di $\frac{(xy+x+y-1{)}^2}{(x^2+1)(y^2+1)}.$

src_jjmo13mq_honsen__Q02

Ants on n x n board visiting every cell, minimal black cells

Let $n,k$ be positive integers with $n\ge k$. There is an $n\times n$ grid of cells, and each cell is colored either white or black. There are $k$ ants. Repeatedly, each ant moves to an adjacent cell. On a white cell an ant can only move straight ahead, while on a black cell an ant may choose freely which adjacent cell to move to next. Suppose that by coloring some $m$ cells black and the rest white, and by suitably choosing the initial placement of the ants and their initial directions of movement, it can be arranged that every cell of the grid is visited by at least one ant. Find the smallest possible value of $m$ for which such an arrangement is possible.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ante su n x n tabella che visitano ogni cella, cellule nere minime

$n,k$ siano integri positivi con $n\ge k$. C’è una griglia di cellule $n\times n$, e ogni cellula è colorata in bianco o nero. Ci sono formiche $k$. Ogni formica si trasferisce ripetutamente in una cella adiacente. Su una cellula bianca una formica può solo muoversi dritta in avanti, mentre su una cellula nera una formica può scegliere liberamente quale cellula adiacente spostarsi dopo. Supponiamo che colorando alcune cellule $m$ in nero e il resto in bianco, e scegliendo correttamente il posizionamento iniziale delle formiche e le loro direzioni iniziali di movimento, si possa organizzare che ogni cellula della griglia venga visitata da almeno una formica. Trovare il minimo valore possibile di $m$ per il quale tale disposizione è possibile.

src_jjmo13mq_honsen__Q03

Circumcenter of BPQ lies on a fixed line independent of l

In the plane there are a circle $C$ and two points $A,B$, where $A$ lies in the interior of circle $C$ (not on the circumference). Take a line $l$ that passes through $A$ but not through $B$, and let $P,Q$ be the two intersection points of $l$ with circle $C$. Let $O$ be the circumcenter of triangle $BPQ$. Prove that there exists a line $m$ such that, regardless of how $l$ is chosen, $O$ lies on $m$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il cerchio di BPQ si trova su una linea fissa indipendente da l

Nel piano ci sono un cerchio $C$ e due punti $A,B$, dove $A$ si trova all’interno del cerchio $C$ (non sulla circonferenza). Prendi una linea $l$ che passa attraverso $A$ ma non attraverso $B$, e lasci che $P,Q$ siano i due punti di intersezione di $l$ con il cerchio $C$. Lasciate che $O$ sia il centro circundante del triangolo $BPQ$. Dimostrare che esiste una riga $m$ tale che, indipendentemente dal modo in cui $l$ è scelto, $O$ si trova su $m$.

src_jjmo13mq_honsen__Q04

2015 points, edges with pairwise angles over 90 degrees, max edges

In the plane, take $2015$ distinct points, and join some pairs of them by edges. Suppose that any two distinct edges that share a common endpoint form an angle greater than $90^{\circ }$. Find the maximum possible value of the number of edges.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Grafi Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

2015 punti, bordi con angoli in coppia superiori a 90 gradi, bordi massimi

Nel piano, prendere $2015$ punti distinti, e unire alcune coppie di loro per bordi. Supponiamo che due bordi distinte che condividono un punto di fine comune formino un angolo maggiore di $90^{\circ }$. Trova il massimo valore possibile del numero di bordi.

src_jjmo13mq_honsen__Q05