Japan Junior Mathematical Olympiad 2015 — Yosen (Preliminary)

Area of shaded region of six-unit-square figure inscribed in a circle

A figure made of $6$ squares, each of side length $1$, is inscribed in a circle as shown. Find the area of the region indicated by the hatching (the shaded region). Here, take the ratio of the circumference of a circle to its diameter to be $\pi$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{5\pi }{2}-2$ Fonte: apri PDF

L’area di una regione ombrata di sei unità quadrate incise in un cerchio

Una figura fatta di quadrati $6$, ciascuno di lunghezza laterale $1$, è inserita in un cerchio come mostrato. Trovare l’area della regione indicata dall’incubamento (la regione ombrosa). Prendete qui il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro a $\pi$.

Risposta: \frac{5\pi}{2}-2 src_jjmo13yq_yosen__Q01

Count labelings 1,2,3,4 of ten tangent circles with adjacent labels distinct

There are $10$ circles of equal size, arranged as shown (a triangular stack with $4$ circles in the bottom row, then $3$, then $2$, then $1$ on top; each circle is tangent to the circles it touches). We write a positive integer in each circle so that both of the following conditions hold: \begin{itemize} \item The integer $1$ is written in exactly $1$ circle, $2$ in exactly $2$ circles, $3$ in exactly $3$ circles, and $4$ in exactly $4$ circles. \item Any two mutually tangent circles contain different integers. \end{itemize} How many such ways are there? Arrangements obtained from one another by rotation or reflection are regarded as the same.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Etichette di conteggio 1,2,3,4 di dieci cerchi tangenti con etichette adiacenti distinte

Ci sono $10$ cerchi di uguale dimensione, disposti come indicato (un pila triangolare con $4$ cerchi nella riga inferiore, quindi $3$, quindi $2$, quindi $1$ in alto; ogni cerchio è tangente ai cerchi che tocca). Scriviamo un intero positivo in ogni cerchio in modo che si applichino entrambe le seguenti condizioni: \begin{itemize} \item Il numero intero $1$ è scritto esattamente in cerchio $1$, $2$ in cerchi esattamente $2$, $3$ in cerchi esattamente $3$, e $4$ in cerchi esattamente $4$. \item Ogni due cerchi reciprocamente tangenti contengono diversi interi. Quanti sono questi modi? Gli accordi ottenuti l’uno dall’altro mediante rotazione o riflessione sono considerati uguali.

Risposta: 6 src_jjmo13yq_yosen__Q02

Smeared long-multiplication cryptarithm; find the final product

Taro made a long-multiplication problem, but because some of the written digits became smeared and illegible, he replaced each illegible digit by one of the symbols below. A given symbol may stand for either of two digits, according to the legend: $◯\Rightarrow 0\text{ or }6,┌\Rightarrow 1\text{ or }7,\phi \Rightarrow 4\text{ or }9.$ The multiplication is written in the standard long-multiplication layout (a two-digit number times a two-digit number, with two partial products that are then added). There are exactly $2$ ways to reconstruct the original multiplication; find the original multiplications and, for each, the number written in the bottom row (the final product). Note: a blank place may hold any digit from $0$ to $9$, and the leading (highest-place) digit of each row must not be $0$.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 588 Fonte: apri PDF

Ritmo di criptografia di moltiplicazione lunga mescolato; trovare il prodotto finale

Taro fece un problema di moltiplicazione lunga, ma perché alcuni dei numeri scritti divennero macchiati e illeggibili, sostituì ogni cifra illeggibile con uno dei simboli di seguito. Un dato simbolo può rappresentare una delle due cifre, secondo la leggenda: $◯\Rightarrow 0\text{ or }6,┌\Rightarrow 1\text{ or }7,\phi \Rightarrow 4\text{ or }9.$ La moltiplicazione è scritta nel layout di moltiplicazione a lungo standard (un numero a due cifre volte un numero a due cifre, con due prodotti parziali che vengono quindi aggiunti). Esistono esattamente $2$ modi per ricostruire la moltiplicazione originale; trovare le moltiplicazioni originali e, per ciascuna, il numero scritto nella riga inferiore (il prodotto finale). Nota: un posto vuoto può contenere qualsiasi cifra da $0$ a $9$, e la cifra principale (in posizione più alta) di ciascuna riga non deve essere $0$.

Risposta: 588 src_jjmo13yq_yosen__Q03

Cards 1..12 split among A,B,C by sum of squares; find A’s and B’s cards

There are cards labeled $1,2,\dots ,12$, one of each, $12$ cards in total. They are distributed to three people A, B, C, with $4$ cards each. For each person the sum of the squares of the numbers on their cards is computed: A’s sum is $204$, B’s sum is $211$, and C’s sum is $235$. Determine the numbers on the cards distributed to A and to B.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $A:\{2,6,8,10\},B:\{4,5,7,11\}$ Fonte: apri PDF

Carte 1..12 suddivise tra A, B, C per la somma dei quadrati; trovare le carte di A e B

Ci sono carte etichettate $1,2,\dots ,12$, una di ciascuna, $12$ carte in totale. Sono distribuite a tre persone A, B e C, ognuna con carte $4$. Per ciascuna persona viene calcolata la somma dei quadrati dei numeri sulle loro carte: la somma di A è $204$, la somma di B è $211$ e la somma di C è $235$. Determinare i numeri delle carte distribuite a A e a B.

Risposta: A: {2,6,8,10},\ B: {4,5,7,11} src_jjmo13yq_yosen__Q04

Common chords of big circle tangent to two inner circles; find p^2-q^2

In a plane there are three circles $A$, $B$, $O$ (named by their centers). The radius of $A$ is $12$ and the radius of $B$ is $8$. Moreover $A$ and $B$ are mutually external (each lies outside the other), and both lie inside $O$. The center of $O$ is the midpoint of the segment joining the center of $A$ and the center of $B$. (Each of $A$ and $B$ is internally tangent to $O$.) Consider the chords of $O$ that are tangent to both $A$ and $B$; their lengths take $2$ values. Calling these $p$ and $q$ with $p>q$, find $p^2-q^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 384 Fonte: apri PDF

Accordi comuni di grande cerchio tangenti a due cerchi interni; trovare p^2-q

In un piano ci sono tre cerchi $A$, $B$, $O$ (chiamati dai loro centri). Il raggio di $A$ è $12$ e il raggio di $B$ è $8$. Inoltre $A$ e $B$ sono reciprocamente esteri (ciascuno è all’esterno dell’altro), e entrambi sono all’interno di $O$. Il centro di $O$ è il punto medio del segmento che unisce il centro di $A$ e il centro di $B$. (Ciascuno di $A$ e $B$ è tangente internamente a $O$.) Considera gli accordi di $O$ che sono tangenti a $A$ e $B$; le loro lunghezze assumono valori $2$. Indicando $p$ e $q$ con $p>q$, si trova $p^2-q^2$.

Risposta: 384 src_jjmo13yq_yosen__Q05

Color 2015 boxes red/blue/white; odd boxes not white, adjacent boxes differ

There are $2015$ boxes arranged in a row. Into each box we place exactly one ball, which is red, blue, or white. Moreover, into the boxes at odd positions counting from the left we do not place a white ball, and adjacent boxes must not contain balls of the same color. How many ways are there to place the balls?

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $2\cdot 3^{1007}$ Fonte: apri PDF

Colour 2015 boxes red/blue/white; odd boxes non white, adiacenti boxes differiscono

Le caselle $2015$ sono disposte in fila. In ciascuna scatola mettiamo esattamente una palla, che è rossa, blu o bianca. Inoltre, nelle scatole in posizioni dispari che contano da sinistra non si colloca una palla bianca, e nelle scatole adiacenti non devono contenere palle dello stesso colore. Quanti modi ci sono per mettere le palle?

Risposta: 2\cdot 3^{1007} src_jjmo13yq_yosen__Q06

Solve nested-radical equation with four terms for positive x

Find the positive real number $x$ satisfying the following equation: $x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2.$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{1}{24}$ Fonte: apri PDF

Solvi l’equazione radicale incastonata con quattro termini per x positivo

Trova il numero reale positivo $x$ che soddisfa la seguente equazione: $x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2.$

Risposta: \frac{1}{24} src_jjmo13yq_yosen__Q07

Distribute 5-color balls to A,B,C so each holds 0 or >=2 of each color

A bag contains balls of $5$ colors: blue, yellow, black, green, red, with $4$ balls of each color, $20$ balls in total. These balls are distributed to three people A, B, C, giving $6$ balls to each, and $2$ balls remain in the bag. How many ways are there to distribute the balls so that all three people satisfy the following condition?

Condition: For every color of ball, each person holds either $0$ balls of that color or at least $2$ balls of that color.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1530 Fonte: apri PDF

Distribuire le palle a 5 colori a A, B, C in modo che ciascuna abbia 0 o >=2 di ciascun colore

Un sacchetto contiene sfere di $5$ colori: blu, giallo, nero, verde, rosso, con sfere $4$ di ogni colore, sfere $20$ in totale. Queste palle sono distribuite a tre persone A, B, C, dando a ciascuna palle $6$ e le palle $2$ rimangono nel sacchetto. Quanti modi ci sono per distribuire le palle in modo che tutte e tre le persone soddisfino la seguente condizione?

Condizione: per ogni colore di palla, ciascuna persona detiene palle $0$ di quel colore o almeno palle $2$ di quel colore.

Risposta: 1530 src_jjmo13yq_yosen__Q08

Find angle PAC in isosceles triangle with interior point P

Let $ABC$ be an isosceles triangle with $AB=AC$, and let $P$ be a point inside it. Given that $\angle BAC=70^{\circ }$, $\angle PBC=30^{\circ }$, and $\angle APC=150^{\circ }$, find the measure of $\angle PAC$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: ${\frac{35}{2}}^{\circ }$ Fonte: apri PDF

Indicare l’angolo PAC in triangolo a stelle uguali con punto interno P

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni con $AB=AC$, e lasciate che $P$ sia un punto all’interno di esso. Poiché $\angle BAC=70^{\circ }$, $\angle PBC=30^{\circ }$ e $\angle APC=150^{\circ }$, si trova la misura di $\angle PAC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \frac{35}{2}^\circ src_jjmo13yq_yosen__Q09

Count reachable configs on 3x100 grid via set-row-heads / set-column-tails

There is a $3\times 100$ grid of cells. On each cell a coin distinguishable by its two faces (heads and tails) is placed, all initially heads up. The following operations 1 and 2 are repeated in any order, any number of times. How many distinct coin configurations can be obtained?

Operation 1: Choose an integer $i$ with $1\le i\le 3$ and turn every coin in the cells of row $i$ to heads up.

Operation 2: Choose an integer $j$ with $1\le j\le 100$ and turn every coin in the cells of column $j$ to tails up.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $6\cdot 4^{100}-6\cdot 3^{100}+2^{100}$ Fonte: apri PDF

Contare le configurazioni accessibili sulla griglia 3x100 tramite set-row-heads / set-column-tails

C’è una griglia di cellule $3\times 100$. Su ciascuna cella si colloca una moneta che si distingue per le sue due facce (capelli e code), tutte inizialmente a testa in su. Le seguenti operazioni 1 e 2 sono ripetute in qualsiasi ordine e numero di volte. Quante singole configurazioni di monete si possono ottenere?

Operazione 1: Scegli un numero intero $i$ con $1\le i\le 3$ e gira ogni moneta nelle celle della riga $i$ in testa.

Operazione 2: Scegli un numero intero $j$ con $1\le j\le 100$ e gira ogni moneta nelle celle della colonna $j$ in coda in alto.

Risposta: 6\cdot 4^{100}-6\cdot 3^{100}+2^{100} src_jjmo13yq_yosen__Q10

Five points, four collinear, with given distances and equal angles; find BC/AD

In a plane there are $5$ points $A,B,C,D,O$. Among them, $A,B,C,D$ lie in this order on the same straight line, while $O$ is not on that line. It holds that $OA=16$, $OB=10$, $OC=9$, $OD=12$, and $\angle AOB=\angle COD$. Find the value of $\frac{BC}{AD}$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{38}{105}$ Fonte: apri PDF

Cinque punti, quattro collineari, con distanze indicate e angoli uguali; trovare BC/AD

In un piano ci sono $5$ punti $A,B,C,D,O$. Tra questi, $A,B,C,D$ si trova in questo ordine sulla stessa linea retta, mentre $O$ non è in quella linea. Si ritiene che $OA=16$, $OB=10$, $OC=9$, $OD=12$ e $\angle AOB=\angle COD$. Trova il valore di $\frac{BC}{AD}$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \frac{38}{105} src_jjmo13yq_yosen__Q11

Sliding-piece puzzle on 2x7 board; minimum moves to displace one coin

There is a $2\times 7$ grid of cells. On the bottom-left cell a piece is placed, and on each of the other cells a coin distinguishable by its two faces is placed. The following operation is performed $K$ times, after which the coin originally on the bottom-right cell has changed position, while every other coin is in the same position as at the start. Find the smallest possible value of $K$.

Operation: Choose one of the cells adjacent (up, down, left, or right) to the cell containing the piece, and swap the piece with the coin in that cell (exchange their positions).

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 47 Fonte: apri PDF

Puzzle a pezzi scorrevoli su tavola 2x7; movimenti minimi per spostare una moneta

C’è una griglia di cellule $2\times 7$. Nella cella inferiore a sinistra si colloca un pezzo e su ciascuna delle altre celle si colloca una moneta che si distingue per le sue due facce. La seguente operazione viene eseguita $K$ volte, dopo la quale la moneta originariamente nella cella inferiore a destra ha cambiato posizione, mentre ogni altra moneta è nella stessa posizione che all’inizio. Trova il minimo valore possibile di $K$.

Operazione: Scegli una delle celle adiacenti (in alto, in basso, a sinistra o a destra) alla cella che contiene il pezzo e scambia il pezzo con la moneta in quella cella (scambia le loro posizioni).

Risposta: 47 src_jjmo13yq_yosen__Q12